Diskreetit järjestelmät
Z-muunnos
Differenssi yhtälöt
Lineaarinen vakiokertoiminen differ.yht.
bk epähog. termi
Täydellinen(heterg) kun bk != 0jono
Yleinen Ratkaisu ⚠ :
3 Kirjoitetaan täydellisen yhtälön yleinen ratkaisu xk=xk H+xk T
2 Määritetään täydellisen yhtälön yksityisratkaisu xk T
1 Määritetään vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu xk H
Yksityis ratkaisu
Yritteen avulla, yritteiden summat myös yritteitä
Kantaratkaisulle Casoratin1 determinantti != 0
täsmälleen n kantaratkaisua f 1(k ) , f 2(k ) ,…, f n (k ) , joita käyttäen yleinen ratkaisu voidaan
esittää yksikäsitteisesti muodossa
xk=C1 f 1( k)+C2 f 2( k)+⋯+Cn f n (k )
Täydellisen lineaarisen differenssiyhtälön yleinen ratkaisu xk on vastaavan homogeenisen
yhtälön yleisen ratkaisun xk
H ja täydellisen yhtälön yksityisratkaisun xk
T summa: xk=xk H+xk T
Homogeeninen kun bk nollajono
n asteen differens.yht.
esim. r3−12 r−16=0, x12=-2, x3=4 -> xk=(C1+C2 k )(−2)k+C3 4k
k:nen xk=ρk ((C1+C2 k +⋯+Cn kn−1) cos k ϕ+(D1+D2 k +⋯+Dn kn−1)sin k ϕ)
1:Sen xk=ρk (C1 cos k ϕ+C2 sin k ϕ)
k;nen xk = (C1+C2k1+...+Cnkn-1)rk)
1:sen xk = Crk
Summa lukujonoista
2 asteen differenssi yht.
2 asteen ratk. erisuuret xk=C1 r1 k +C2 r2
2 asteen ratk. kaksoisjuuret xk=C1 rk+C2 k rk .
2 ast.ratk. imag xk=ρk (C1 cos k ϕ+C2 sin k ϕ)
an xk+n+an−1 xk+n−1+⋯+a0 xk = 0
Yleinen ratkaisu
an xk +n+a n−1 xk +n−1+⋯+a0 xk=0
on muotoa xk=rk oleva ratkaisu, jos ja vain jos yhtälö
an rn+an−1 rn−1+⋯+a1 r+a0=0
karakteristinen yhtälö r sijoituksin
an xk+n+an−1 xk+n−1+⋯+a0 xk = bk
a0 ,a1,…,an ovat vakioita, an≠0 , a0≠0
bk tunnettu lukujono
Takenevassa muodossa annetun differenssiyhtälön alkuarvoprobleemalla on yksikäsitteinen
ratkaisu. Alkuehdot ovat muotoa
x−1=a−1 , x−2=a−2 ,…, x−n=a−n
Etenevässä muodossa annetun differenssiyhtälön alkuarvoprobleemalla, jossa on määritettävä
se ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdot
x0=a0 , x1=a1 ,…, xn−1=an−1
on yksikäsitteinen ratkaisu.
Kertaluku indx erotus
Etenevä / takeneva
n kertaluvun diff.yht.
Yleinen raktaisu kun n riippumatonta vakiota
yksityis ratkaisu kun kaikki n vakiot määritetty
Muunnokset
Takenevaksi
xk +2−xk +1−2 xk=2 k , x0=1 , x1=3
takeneva esitysmuoto saadaan siirrolla yk=xk+2
seuraavanlaiseksi:
yk−yk−1−2 yk−2=2 k , y−2=1 , y−1=3
Eteneväksi
F(k , xk , xk−1 ,…, xk−n)=0
x−1=a−1 , x−2=a−2 ,…, x−n=a−n
muuttuu y0=a−n , y1=a−n+1 ,…, y n−1=a−1
Alkuarvoprobleema
2. Asetetaan alkuehdot voimaan ja ratkaistaan riippumattomat vakiot.
1. Määritetään täydellisen yhtälön yleinen ratkaisu, joka sisältää riippumattomia vakioita.
Ensin täydellisen ratkaisun vaiheet ❗
1 asteen diff.yht.ryhmä ⁉
Perus
Z muuntuva, jos X ( z )=Σk=0∞ xk z−k=x0+x1 z−1+ x2 z−2+ x3 z−3+⋯ .
suppenee jollain z. Sarjan suppenemisalue on muotoa1 |z|>r , missä r≥0
Lukujono xn on X(z) funktion z-käänteismuunnos
X(z) lukujonon xn z muunnos
Muunnossäännöt S1-S7
Z-muunnoskaavat K1-K7, n ei neg, r>0
Differe.yht. ratkaisu
1 Z-muunnetaan diff.yhtälö
2 Ratkaistaan 1asteen yhtälöstä ratkaisun z-muunnos
3 z-käänteismuunnetaan ratkaisu z-muunnos
δ
Diskreetit järjestelmät
Perus
Kaikki esitettävissä x (n)=Σk=−∞∞ x (k )δ(n−k )
Yksikköaskel u(n)
Yksimpulssi δ(n)
Nollajono
Konvoluutio
(x∗y )(n)= Σk=−∞∞ x(k ) y (n−k ) ja
(x∗y )(n)= Σi+ j=nx (i) y ( j) (1)
konvoluutiotulon yksikköalkio x=x∗δ
Äärellispituinen lukujono, kun äärellinen määrä 0sta poikkevia alkioita
X=Σ n=0 Mx(n)tn
polynomien tulon t.n potenssien kertoimet on polynomien kertoimien konvoluutioita
Diskreetti järjestelmä
Perus
OUT on vaste y(n)
Eli y = P(x)
IN on heräte x(n)
Viive y (n)=x(n−k )
Liukuvakeskiarvo
y(n)= 1/(m2−m1+1) Σk=m1,m2 x(n+k )
Järjestelmä on kausaalinen, jos vasteen alkio y(n) riippuu vain erätteen arvoista x (k ) , missä k≤n .
Lineaarinen aikavariantti järjestelmä, LTI
Järjestelmän impulssivaste h = P[δ
-> h(n−k)=P[δ(n−k)]] jokaisella k
y = h x vaste = imp.vaste heräte
kausaalinen, jos ja vain jos impulssivasteelle h pätee h(n)=0 , kun n < 0
y (n)=h(0) x (n)+h (1) x (n−1)+h(2)x (n−2)+⋯+h(n)x (0)
Finite Impulse Response
y (n)=Σk=0N bk x(n−k)
impulssivaste on nollasta eroava
vain äärellisen monella indeksin arvolla
Infinite Impulse Response
y (n)+Σj =1Maj y (n−j)=Σk=0Nbk x (n−k )
Jos aM≠0 ja bN≠0 , niin IIR-suotimen aste on suurempi luvuista M ja N.
Aste suurin n
Siirtofunktio
Kausaalisille lukujonoille konvoluution z-muunnos on z-muunnosten tulo
x∗y <-> X ( z)Y ( z)
impulssivaste on h(n) , on järjestelmän siirtofunktio
H ( z)=Z [h(n)]
Jos järjestelmän siirtofunktio on H ( z) , niin vasteen z-muunnos saadaan kertolaskulla
Y ( z )=H ( z) X ( z)
Koska konvoluution z-muunnos on z-muunnosten tulo, saadaan ottamalla tästä z-muunnos
Y ( z)=H ( z) X ( z)
Sisältää kaiken tiedon järjestelmästä
Fourier Sarjat
f (t ) = a0/2 +Σk=1,inf (ak cos k ωt+bk sin k ωt )
a0 = tasakomponentti
ak= 2/T ∫t 0t0+T f (t )cos k ωt dt (k = 0, 1, 2, …)
bk= 2/T ∫t 0t0+T f (t )sin k ωt dt (k = 1, 2, 3, …)
ω = 2π / T
Muu
Parillinen f(-x) = f(x) kaikilla x symm. y suhteen
f(-x) = -f(x) kaikilla x symm. origon suhteen
Parillinen
f (t)=a0 / 2 +Σk=1∞ ak cos k ωt
ak= 4 / T ∫0->T/2 f (t )cos k ωt dt
Pariton
f (t) = Σk =1∞ bk sin k ωt
bk= 4/T ∫0->T/2 f (t)sin k ωt dt
Eksponenttimuoto
f (t)= Σk=−∞∞ck e^( i k ωt ) ,
missä ck=1T ∫t 0t0+T f (t)e^( −i k ωt ) dt
c−k =̄ ck
Vaihekulmamuoto
f(t) = d0 + Σk = 1∞ d k cos(k ωt+ϕk )
d0 = c0
dk = 2|ck|
ϕk = arg(ck )
Spektri
Eksponentti muotoinen fourier
Fourier-sarjan kertoimet ck , k ∈ℤ muodostavat funktion f spektrin.
amplitudispektri rk koostuu itseisarvoista |ck|, k ∈ℤ pariton
vaihespektri ϕk koostuu vaihekulmista arg(ck ), k∈ℤ parillinen
r−k=rk
ϕ−k=−ϕk
Trigonometrisen muotoa
f (t )=a02 +Σk=1∞(ak cos k ωt+bk sin k ωt ) ,
spektri1 on
c0=a02
ck=12
(ak−bk i ) (k = 1, 2, 3, …)
VAihekulmamuotoisen
f (t)=d 0+Σk=1∞d k cos(k ωt+ϕk )
Amplitudi spektri
r0=|d0|rk=dk2(k = 1, 2, 3, …)
Vaihespektri
ϕ0 = {0 , jos d0>0
{π , jos d0<0
ϕk (k = 1, 2, 3, …)