Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Matrices y sistemas de ecuaciones (Vectores y matrices (Matriz: Se define…
Matrices y sistemas de ecuaciones
Vectores y matrices
Matriz: Se define como un conjunto rectangular de numeros.
Matriz mxn
Es una matriz con m renglones y n columnas.
Matriz cuadrada : Si a es una matriz m x n en la cual m = n , A=(mxn)
Matriz cero: Una matriz mxn con todos los elementos iguales a 0
Matriz identidad: La matriz identidad ln de nxm es una matriz nxm cuyos elementos en la diagonal principal son 1 y en todos los demas son 0.
Matriz simetrica: La matriz (cuadrada) A de nxn se denomina simetrica si A^t = A, es decir, las columnas de A son tambien los renglones de A.
Tipos de vectores
Vector columna de n componentes: Es un conjunto ordenado de n numeros escritos.
Vector 0: es cualquier vector cuyos elementos sena todos cero.
Componentes del vector: x1 se denomina la primera componente del vector x2 sera entonces la segunda componente del vector.
Vector renglon de n componentes: conjunto ordenadode numeros scritos de la siguiente manera: n(x1 , x2 ..... xn)
Espacion Simbolo: R^n se utiliza para denotar el conjunto de todos los n vectores.
Operaciones con matrices
Dadas dos matricez de la misma dimensión: A=(aij) y B=(bij)
Suma de matrices: Se define como A+B =(aij + bij) ,Se obtiene sumando los elementos de las matrices que ocupan la misma posicion.
Resta de matrices: Se define como A-B =(aij - bij) ,Se obtiene restando los elementos de las matrices que ocupan la misma posicion
Producto de una escalar por una matriz:: Dada una matriz A = (aij) y un numero real K, se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz por K.
Producto de matrices: Dos matrices A y B son multiplicables si el numero de columnas de A coincide con el numero de filas de B. Mmxp X Mnxp = Mmxp, El elemento Cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la filla i de la matriz A por cada elemento de la colemna j de la matriz B y sumandolos.
Matriz inversa: Se dice que una marriz cuadrada A es reversible si existe un amatriz B con la propiedad que A
B = B
A = l, seindo L la matriz identidad.
Transpuesta de una matriz : Sea A = (aij) unba matriz de mxn . Entonces la transpuesta de una matriz de A, se escribe A^t, es la matriz que se obtiene al intercambiar los renglones por las columnas de A.
Producto vectorial
El producto escalar de los vectores a y b esta denotado por a
b y esta dado por a
b = a1b1 + a2b2 + a2b2+ ... anbn
Determinante de una matriz
El determinante de una matriz 2 x2 esta definido como det A = a11a22 - a12a21. Para una matriz n > 3 es recomendable utilizar el metodo por expansion de cofactores.
Operaciones elementales con los renglonres de una matriz
Multiplicar (o dividir) un renglón por un numero diferente de 0: Ri --> CRi
Intercambiar dos renglones. Ri <--> Rj
Sumar un multiplo de un renglon a otro renglón. Rj --> Rj + CRi
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Sistemas inconsistentes y consistentes
Inconsistente: si un sistema de escuaciones lineales no tiene solucion.
Consistente: si el sistema de ecuaciones lineales tiene al menos una solucion.
Matriz de la forma escalonada y escalonada reducida por renglones
Escalonada por renglones: Es asi si cumple con las condiciones de la forma escalonada reducida por renglones.
Escalonada reducida por renglones: Se reduce por renglon la matriz de coeficientes de manera que todos los elementos donde i sea diferente de j sean igual a 0 y los elementos deonde i = j sean 1
Eliminacion de Gauss - Jordan y Gaussiana
Eliminacion de Gauss - Jordan: Se reduce la matriz de coeficientes a la forma escalonada reducida por renglones.
Eliminacion Gaussiana: Se reduce por renglon la matriz de coeficientes a la forma escalonada por renglones. Se despeja el valor de la ultima incognita y despues se usa la sustitucion hacia atras para las demas incognitas.
Sistemas homogéneos de ecuaciones: Se llama sistema homogeneo a un sistema general de m x n ecuaciones lineales en el cual todas las constantes b1, b2 .... bm son 0.
Solucion trivial: o solucion 0 , se tiene 2 posibilidades : la solucion trivial es la unica solucion o existe un numero infinito de soluciones.