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SUITES (Limites (Limite de suite Géométrique (Si q<= -1 : pas de limite…
SUITES
Limites
Opérations
Produit:
L ..... L>0 ..... L<0 ......L>0......L<0 ..... +oo....... -oo ..... +oo .... 0
L' ......+oo ......+oo ......-oo ......-oo .......+oo .......-oo ......-oo ...... oo
LL'.....+oo.......+oo......-oo.......-oo.........+oo........+oo......-oo ........FI
Quotient:
L..........L.....L>0 / +oo ...L<0/-oo..... L>0/+oo......L<0/+oo...... 0 ..... +oo.....+oo.....-oo ..... -oo..... oo
L'........oo...0 qd vn>0....qd vn>0.....qd vn<0......qd vn<0.......0......L'>0.....L'<0....L'>0......L'<0.....oo
L/L'.....0.....+oo..............-oo............-oo..............+oo..............FI.......+oo.......-oo......-oo......+oo......FI
-
Comparaison
Si à partir n0, un<=vn et si lim(un)=+oo alors lim(vn)=+oo
Si __ un>=vn _ -oo ___ -oo
Si à partir d'un n0, un<=vn<=n et si lim(un)= lim(wn)= L alors lim(vn)=L
Si (un) majorée par M et converge vers L, alors L<=M
Si (un) minorée par m et converge vers L, alors L>=m
ROC 1 :
Soit a>0, lim(un)=+oo donc ]a;+oo[ contient tous les termes de (un) à partir d'un certain rang n0
On a donc pour n>n0 : un>a
Or, à partit d'un certain rang n1, pour tout n>n1 : un<=vn
Donc à partir du rang n2 (égal au + gd entre n0 et n1) : a<un<=vn
Ce qui prouve bien qu'à partit du rang n2, tous les termes de la suite (vn) sont dans l'intervalle ]a;+oo[
Donc lim(vn)=+oo
Suite majorée s'il existe réel M tq pour ttnCN : u(n)<=M
Suite minorée ___ m __ u(n)>=m
Suite bornée __ m et M __ m<=u(n)<=M
Convergence
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Si une suite est croissante et majorée, alors elle est convergente
Si une suite décroissante est minorée, alors elle est convergente
Limite d'une suite
Infinie:
lim(un)=+oo si tout intervalle ]A;+oo[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain n0
-oo _ ]-oo;B[ __
Finie:
lim(un)=L si tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite à partir d'un certain n0 --> suite convergente (contraire : divergente)
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Si (un) est définie par récurrence : u0=.. et un+1=f(un)
ET qu'elle est convergente vers L
Poser lim(un)=L & lim(un+1)=L
Or lim(un+1)=lim(f(un))=f(L)
Donc L=f(L)
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Récurrence
Montrer que pour tout n appartenant à N, P(n) est vraie
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Hérédité
Supposons que P(n) est vraie
Montrons P(n+1)
P(n+1) est vraie donc la propriété est héréditaire
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire ce qui prouve par récurrence que pour tout n appartenant à N, P(n) est vraie
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