Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

Real analysis (Calculus (Taking limits ("Замечательные пределы"…

- - - - General techniques
        
        Substitution
        
        Иногда бывает полезно либо воспользоваться симметриями промежутка интегрирования \(x \mapsto \frac{1}{x}\), либо изменить порядок обхода \(x \mapsto b - a + x\)
        
        Integration by parts (LIATE)
      - Rational functions
        
        Метод Остроградского:
        \(\int\frac{P(x)}{Q(x)} dx = \frac{P_{1}(x)}{Q_{1}(x)} + \int(\frac{A_{1}}{x-a_{1}} + ... + \frac{A_{s}}{x-a_{s}} + \frac{B_{1}x+C_{1}}{x^2+p_{1}x+q_{1}} + ... + \frac{B_{t}x+C_{t}}{x^2+p_{t}x+q_{t}})dx\),
        где \(Q_{1}(x)\) — многочлен с теми же неприводимыми множителями, что и в \(Q\), только в степенях, на единицу меньших, \(P_{1}(x)\) — многочлен степени меньшей, чем у \(Q_{1}\).
        Самопроверка: количество неизвестных равняется степени многочлена в знаменателе.
      - Irrational functions:
        
        \( R \left(x; \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{\frac{p_{1}}{q_{1}}}, ..., \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{\frac{p_{m}}{q_{m}}} \right) \rightarrow t^m = \frac{ax+b}{cx+d}, m = [q_{1}, ..., q_{m}] \)
        
        Differential binomial. Chebyshev substitutions.: \( \int x^m (ax^n + b)^p dx \\ 1. \quad p \in \mathbb{Z} \rightarrow x = t^N, N = [q_{m}, q_{n}] \\ 2. \quad \frac{m+1}{n} \in \mathbb{Z} \rightarrow ax^n + b = t^s, p = \frac{r}{s} \\ 3. \quad \frac{m+1}{n} + p \in \mathbb{Z} \rightarrow a + bx^{-n} = t^s, p = \frac{r}{s} \)
        
        Euler's substitutions: \( \int R(x; \sqrt{ax^2+bx+c})dx, a \neq 0, b^2 - 4ac \neq 0 \\ a > 0 \rightarrow \sqrt{ax^2+bx+c} = \pm \sqrt{a}x \pm t \\ c > 0 \rightarrow \sqrt{ax^2+bx+c} = \pm x t \pm \sqrt{c} \\ \sqrt{ax^2+bx+c} = \pm (x - x_{1}) t \\ \\ \sqrt{ax^2+bx+c} = \pm (x - x_{2}) t \) :red_flag:
        
        Trig. and hyperb. substitutions: \(\int R\left(x; \sqrt{p^2 - x^2}\right) \rightarrow x = p \sin(t), x = p \cos(t), x = p \tanh(t) \\ \int R\left(x; \sqrt{x^2 - p^2}\right) \rightarrow x = \frac{p}{\cos(t)}, x = p \cosh(t) \\ \int R\left(x; \sqrt{p^2 + x^2}\right) \rightarrow x = p \tan(t), x = p \sinh(t) \)
        
        Differentiate to deduce coefficients: \( \int \frac{P_{n}(x) dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}} = Q_{n-1}(x)\sqrt{ax^2+bx+c} + \lambda \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\) #
        
        Подстановкой свести к предыдущему случаю: \(\int \frac{dx}{(x-\alpha)^{k} \sqrt{ax^2+bx+c}}, t \rightarrow \frac{1}{x-\alpha} \) #
        
        Представить линейной комбинацией и воспользоваться подстановкой Абеля: \( \int \frac{(Ax + B) dx}{(x^2 + px + q)^{\frac{2m+1}{2}}} \rightarrow \alpha \int \frac{(2x + p) dx}{(x^2 + px + q)^{\frac{2m+1}{2}}} + \beta \int \frac{dx}{(x^2 + px + q)^{\frac{2m+1}{2}}} \\ 1. \quad u = x^2+px+q\\ 2. \quad t = \left(\sqrt{x^2 + px + q}\right)' \ \)
        
        \( \int \frac{(Mx + N) dx}{(x^2+px+q)^m \sqrt{ax^2+bx+c}} \\ p \neq \frac{b}{a} \rightarrow x = \frac{\alpha t + \beta}{t + 1} \\ \int \frac{P(t)dt}{(t^2+\lambda)^m \sqrt{st^2 + r}}, \deg(P) = 2m-1 \rightarrow R \left( \int \frac{t dt}{(t^2+\lambda)^k \sqrt{st^2+r}}, \int \frac{dt}{(t^2+\lambda)^k \sqrt{st^2+r}} \right) \\ 1. \quad u^2 = st^2 + r \\ 2. \quad v = (\sqrt{st^2+r})'\) #
      - Trigonometric and hyperbolic functions
        
        Main trig. identities
        
        Main hyperb. identities
        
        \( R(-\sin(x), \cos(x)) = -R(\sin(x), \cos(x)) => t = \cos(x) \\ R(-\sin(x), -\cos(x)) = -R(\sin(x), \cos(x)) => t = \tan(x) \)
        
        Universal substitution: \(t = \tan(\frac{x}{2})\)
        
        Представить числитель как линейную комбинацию знаменателя и его производной:
    - - Длина кривой: \(\int_{a}^{b} \sqrt{x'(t)^{2} + y'(t)^2} dx\)
      - Площадь поверхности вращения: \(2 \pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + f'(x)^2} dx \\ S_{x} = 2 \pi \int_{a}^{b} y(t) \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} dt \\ S_{y} = 2 \pi \int_{a}^{b} x(t) \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} dt \)
      - Объём тела вращения: \(\pi \int_{a}^{b} f^2(x) dx \\ V_{x} = \pi \int_{a}^{b} y^2(t) x'(t) dt \\ V_{y} = \pi \int_{a}^{b} x^2(t) y'(t) dt\)
      - Криволинейный интеграл:
        Первого рода: \(\int_{\mathrm{C}} f(r) dl = \int_{a}^{b} f(r(t)) |r'(t)| dt\)
        Второго рода: \(\int_{\mathrm{C}} (f(r), dr) = \int_{a}^{b} (f(r(t)), r'(t)) dt \)
      - Несобственные интегралы:
        Общий случай: критерий Коши, выделение главной части (важно: при выделении главной части нужно добиваться того, чтобы остаточный член сходился абсолютно, иначе применение метода необоснованно)
        Знакопостоянные: признаки сравнения
        Знакопеременные:
        
        Признак Дирихле:
        \(f \in C_{[a; +\infty)}, \exists C \in \mathbb{R}: |F(x)| < C \\ g(x) \in C^{1}_{[a; +\infty)}, g(x) > 0, \forall x > a: g'(x) \le 0 \\ \lim_{x \rightarrow \infty} g(x) = 0 \\ \implies \int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) dx \in \mathbb{R}\)
        
        Признак Абеля:
        \(f(x) \in R_{[a; +\infty)} \\ g(x) — ограниченна \ и \ монотонна \\ \implies \int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) dx \in \mathbb{R} \)
        
        Альтернативная формулировка: \(f(x)\) непрерывна на полуинтервале \([a; +\infty)\), а \(g(x)\) — непрерывная и монотонная на нём, причём существует конечный предел \(\lim_{x\rightarrow \infty}g(x) = a \in \mathbb{R}, a \neq 0\). Тогда интегралы \(\int_{a}^{+\infty} f(x) dx \), \(\int_{a}^{+\infty} f(x)g(x)dx\) либо одновременно рассходятся, либо одновременно сходятся, либо одновременно сходятся абсолютно.
        
        Модельные интегралы:
        
        \(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} dx\) — сходится \(\forall \alpha > 1\)
        
        \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} dx \) сходится \(\forall \alpha < 1\)
        
        \(\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha} \log^{\beta}{x}}\) — сходится при \(\alpha > 1\), при \(\alpha = 1, \beta > 1\). При всех остальных значения параметра — расходится.
        
        \(\int_{1}^{+\infty} x^{\alpha} \sin(x^{\beta}) dx\) — сходится абсолютно при \(\alpha < -1\), сходится условно при \(-1 \le \alpha < \beta - 1\), расходится при \(\alpha \ge \beta - 1\).
  - - - Необходимые и достаточные условия:
        
        НД: Функция линейна в достаточно малой окрестности точки \(f(x+h) - f(x) = A_{1}h_{1} + ... + A_{n}h_{n} + o(\Vert h \Vert)\), где \(A_{i} = \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)\)
      - Достаточные условия:
        
        Д: Все частные производные непрерывны в точке и определены в некоторой её окрестности:
      - Необходимые условия:
        
        Н: Существование всех частных производных и непрерывность самой функции в данной точке:
        эквивалентно, если функция не является непрерывной в точке или хотя бы одна частная производная в ней не определена, то функция не может быть дифференцируема в этой точке.
  - - - Знакопостоянные ряды
      - Знакопеременные ряды
    - - Степенные ряды
      - Признак Дирихле (д.у. равномерной сходимости):
        Пусть дан ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x) b_{n}(x)\).
        Если \(\forall n \ a_{n}(x) \)
  - - - Д: Hölder's condition: \( \left| f(x) - f(x') \right| \le c \left| x - x' \right|^{\alpha}, \alpha > 0 \rightarrow \) uniformly continuous. Not sufficient! :warning: \(\frac{sin(\mathrm{e}^{x})}{1+x^2}\)
        
        Д: ограниченность производной
        Differentiable on an interval with bounded derivative \(\implies \) uniformly continuous
        
        .
        Обратное верно не всегда: если предела на бесконечности нет, то бесконечно большая на бесконечности производная указывает, что функция не равномерно непрерывна: \(f \in D_{[a; +\infty)}, \lim_{x->+\infty}f'(x) = +\infty \lor \lim_{x->+\infty}f'(x) = -\infty \implies f\) не является равномерно непрерывной на \([a; +\infty)\)
        Контрпример: \(\frac{sin(\mathrm{e}^x)}{1+x^2}\), производная неограничена на бесконечности, но не имеет постоянного знака за счёт синуса!
        Также представляет интерес пример \(x + \frac{sin(\mathrm{e}^x)}{1+x^2}\), т.к. сложение сохраняет равномерную непрерывность, но, тем не менее, функция неограничена на бесконечности вместе со своей производной.
      - Д: Непрерывна и имеет конечный предел на бесконечности: \(f \in C_{I}, I = [a; +\infty), \exists \lim_{x \rightarrow +\infty}{f(x)}, \implies f \) is uniformly continuous on \( I \).
      - Д: Непрерывная на компакте равномерно непрерывна на нём: Continuous on a compact set => uniformly continuous.
      - Д: Равномерная непрерывность на замкнутом множестве и компакте продолжается на их объединение:
        Предположим противное: пусть \(\exists \epsilon > 0\), такое что с ним выполняется отрицание условия равномерной непрерывности. Тогда можно выбрать две последовательности точек (по одной из каждого множества), схоядщиеся к одному пределу, такие что расстояния между их образами всегда будут \(>\epsilon\) . Последовательности сходятся к одной точке (в силу компактности и замкнутости множеств), и, в силу непрерывности, их образы тоже должны сходиться к одному значению, чего не происходит по предположению. Получаем противоречие с непрерывностью.
      - Д: Непрерывность на луче и ограниченность производной на его части влечёт равномерную непрерывность: выделить отрезок и оставшееся замкнутое подмножества луча, применить уже доказанный признак.
      - Д: Сложение сохраняет равномерную непрерывность:
      - Д: Существование наклонной асимптоты у непрерывной функции:
      - Д: Композиция сохраняет равномерную непрерывность:
      - Д: Непрерывная периодическая функция всегда равномерно непрерывна:
    - - НД: Теорема о продолжении на замыкание:
        \( f \) is uniformly continuous on \( I \iff \) it can be extended to a uniformly continuous function on \( \overline{I} \)
        Замечание: если на замыкании функция не будет непрерывной, то и равномерно непрерывной она быть не может.
      - НД: Модуль непрерывности стремится к нулю: Function is uniformly continuous iff its modulus of continuity approaches zero as distance between points becomes smaller. \(\left| f(x) - f(y) \right| \le \omega (\left|x - y \right|) \)
      - НД: Непрерывна на конечном промежутке и имеет конечные пределы в его граничных точках: \(I \) — bounded interval with endpoints \( a < b \). \( f \) is uniformly continous \( \iff f \in C_{I} \land \exists \lim_{x \rightarrow a + 0}{f(x)}, \lim_{x \rightarrow b - 0}{f(x)} \in \mathbb{R} \).
      - НД: График функции можно заключить под прямую сколь угодно малого сдвига
        \(f: \ [a; +\infty) \rightarrow \mathbb{R}: u.c. \iff \forall b>0 \exists k > 0: \\ \forall x, y \in [a; +\infty) \left|f(x)-f(y)\right| \le k \left| x - y \right| + b \)
    - - \(f(x+c)-f(x)\) для равномерно непрерывной функции \(f\) ограничено:
        \( c \in \mathbb{R}, I \subset \mathbb{R}, f \) is uniformly continuous, \(I' = I - c \) elementwise, then \( g : I \cap I' \rightarrow \mathbb{R}, g(x) = f(x+c)-f(x) \) is bounded.
      - Н: График можно заключить под прямой:
        \( I = [a; +\infty), f : I \rightarrow \mathbb{R} \) is uniformly continuous \( \implies \exists k, b \in \mathbb{R}: \forall x, y \in I \left| f(x) - f(y) \right| \le k \left| x - y \right| + b, \\ \exists k_{1}, b_{1} \in \mathbb{R}: \forall x \in I \left| f(x) \right| \le k_{1}x + b_{1} \)
- - - - Pathological examples:
        
        Non-Jordan-measurable set or Non-Jordan-measurable set with measurable closure: \(\mathbb{Q} \cap [0;1]\)
        
        Countable union of zero-measure sets that doesn't have measure zero: \(Q_{n} := \{ \frac{m}{n} \ | \ m \in \mathbb{Z}, \frac{m}{n} \in [0;1]\} \). For each \(n\) such set is finite, but their union gives the previous example.
        
        Open non-Jordan-measurable set: cover each rational point from the first example with an open rectangle, forming a cover of arbitrarily small measure. Quite obviously, upper measure for this union will still have measure 1, as set difference of \([0;1]\) with any cover by finite number of elementary sets will contain only finite number (since elementary sets are closed under set difference) of degenerate rectangles (by construction), and its measure must be zero. Hence, outer measure is unequal to inner measure, and the set is not Jordan-measurable.
        
        Unbounded set with finite inner Jordan measure: \([0;1] \cup \mathbb{Z} \)
  - - - Pathological examples:
        Non-measurable set: divide points of a unit circle into equivalence classes: consider two points equal if an angle between them is rational. As there are strictly more points than rational rotations, there will be countably many equivalence classes. Using axiom of choice, choose a representative from each class. Rotated over rational angle, this set will become disjoint with initial. Hence, a disjoint union of all such rotations gives the whole circle (as the circle is partitioned by equivalence relation). But the circle is measurable, hence there must be a way to assign a measure to each rotated copy to make the series convergent. As all the sets are congruent, their measures must be equal (as the Lebesgue measure is both translation- and rotation-invariant). Nevertheless, regardless of the measures assigned, series will either converge to zero or diverge to infinity. Hence, the circle must either have zero or infinite length, which is impossible. Hence, such a set must be non-measurable.