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Multiplication et division (Typologie des problèmes de multiplication et…
Multiplication et division
Attendus de fin de cycle
Cycle 2
Résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul
Calculer avec des nombres entiers (mémoriser des faits numériques et des procédures : tables de multiplication, décompositions multiplicatives de 10 et de 100, multiplication par une puissance de 10, double et moitié, propriétés des opérations et de la numération)
Cycle 3
Résoudre des problèmes en utilisant les fractions, les nombres décimaux et le calcul
Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux (multiples et diviseurs des nombres d'usage courant, critères de divisibilité)
Typologie des problèmes de multiplication et de division
Problème de multiplication
Problèmes de division partition ou de partage
(
recherche la valeur d'une part
: J'ai collé 448 timbres dans un album de 14 pages. Il y'a le même nombre de timbre sur chaque page. Combien y a t-il de timbres sur chaque page ?)
Problèmes de division quotition ou de groupement
(
recherche du nombre de parts
: J'ai collé 448 timbres dans un album. Il y a 14 timbres sur chaque page. Combien de pages ont été remplies ?)
Problèmes de 4ième proportionnelle
Procédures de résolution utilisable par les élèves
Pour résoudre les problèmes de "multiplication"
Problèmes de type " proportionnalité simple avec présence de l'unité
Procédure en utilisant le support d'un dessin ou d'un schéma
Procédure additive
Procédure multiplicative
Procédure du type additif ( 48+48+48+48 : 96+96)
Procédure du type "produit de mesures"
Ecriture de tous les couples possibles
Résolution par un schéma
Résolution par un tableau à double entrée
Résolution par un raisonnement
Pour résoudre les problèmes de "division"
Procédures imagées
Dessin figuratif
Dessin schématisé
Procédures progressives fondées sur l'addition ou la soustraction
Addition pas à pas
Soustraction pas à pas
Addition ou soustraction de multiples du diviseur
Procédures multiplicatives
Pose la multiplication à trou
Essais de multiples successifs du diviseurs
Essais par approches sucessives
Procédures mixtes
L'élève utilise la multiplication et la soustraction
Quotients partiels au "hasard"
Utilisation des multiples de 10 pour les quotients partiels
Utilisation de la division
Calcul de la division ou utilisation de la calculatrice
Principales variables didactiques et erreurs caractéristiques
Variables didactiques
Problèmes à résoudre une multiplication ou une division
Type de problème (les problèmes de type proportion simple sont plus faciles à résoudre que les problèmes de type produit de mesures)
Types des nombres utilisés
Taille des nombres en jeu
Outils de calcul disponible ou non
Problème de "division"
Valeur du quotient
Existence d'un reste non nul
Réponse à interpréter à partir d'un terme de la division
Erreurs caractéristiques
Problèmes ne faisant intervenir que des nombres entiers
Erreurs dans le choix de la procédure de résolution
Erreurs dans l'exécution de la procédure ou dans l'interprétation des calculs à effectuer
Erreurs dans le calcul
Calcul de multiplication et de division
Résultats et procédures de base
Connaissance des tables de multiplication
Le calcul de produits dont le facteur est 0 ou 1
Le produit et le quotient d'un nombre naturel ou d'un nombre décimal par 10, 100
Des produits du type 30x4 ou 30x40
Technique opératoire de la multiplication
Difficultés rencontrées par les élèves
Les tables ne sont pas mémorisées
La gestion des retenues
L'ordre des calculs à respecter
au décalage qui correspond à l'existence d'un 0
Connaissances sous jacentes à la technique de la multiplication
Les produits des tables de multiplication doivent être disponibles rapidement
La décomposition des nombres en fonction de leur écriture doit être maîtrisée : 507 = 500 + 7
Le repérage de la valeur des chiffres en fonction de leur position dans l'écriture d'un nombre (unités, dizaines...)
Les élèves doivent être capable de remplacer un produit par une somme de produit : 438x507 = 438x7 + 438x500
Ils doivent connaitre la règle des 0
Technique opératoire de la division
Difficultés rencontrées par les élèves
La division posée est la seule opération pour laquelle les calculs s'effectuent en considérant le dividende de gauche à droite
Cette technique exige d'effectuer simultanément des divisions, des multiplications et des soustractions
Si on ne pose pas les soustractions partielles, celles-ci peuvent faire intervenir des retenues supérieures à 1
Connaissances sous jacentes à la technique de la division
Le repérage de la valeur des chiffres
Les tables de multiplication doivent être maitrisées
Le calcul approché est important pour répondre aux questions : combien de fois 29 dans 75 ?
Le calcul de produit et de différence doit être maitrisé