Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Erwartungswert & Varianz von ZV spezielle Verteilungen…
Erwartungswert & Varianz von ZV
spezielle Verteilungen
Erwartungswert
= Mittelwert bei Wahrscheinlichkeitstheorie
diskrete ZV
E(X) =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f
gibt jeder Realisation eine Wahrsch.
x
Realisation
alles aufsummieren
(
E(X) = . .
)
stetige ZV
E(X)
= . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpretation
wird
frequentisch
interpretiert
EW . . = durchsch. Wert, wenn Zufallsexperiment unendlich oft & identisch -> man erkennt, wie sich
X
im Mittel realisiert
Varianz
diskrete ZV
Var(X)
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x. - Konstante . . zum Quadrat
mal Wahrsch., dass
X
in
x.
realisiert
Standardabweichung
SD(X)
= . . . . . . . . . . . . . . . . . = . .
positive Wurzel aus Varianz
stetige ZV
Var(X)
= . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpretation
Varianz . . =
erwartete quad. Abweichung
von EW
gibt an, wie stark Realisationen der ZV
X
um EW
E(X)
streuen
Spezielle Verteilungen
Binomialverteilung
Vorbemerkung
Bernoulli-Variable
=
ZV
X
, 2 Realisationen: tritt nicht ein > 0(Misserfolg) & tritt ein > 1(Erfolg)
Bernoulli-Verteilung
= ZV
X
(2 Realisationen) bernoulli-verteilt mit Erfolgswahrsch.
p
, wenn gilt
P(X=1) = p
P(X=0) = 1 - p
X ~ Be(p)
"ZV
X
folgt Bernoulli-Verteilung mit Parameter
p
"
Erwartungswert & Varianz
E(X)
= . . . . . . . . . . . . . . . . .
Var(X)
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
graphisch
s. Bsp.
Bernoulli-Experiment
=
Zufallsexperiment
, wird durch ZV auf Träger
T.
= {0;1} abgebildet
=
n
gleihartige & vonein. unabh. Bernoulli- Experimente mit Parameter
p
ZV
X
= Anzahl Erfolge -> Träger *T. = {x., x., ..., x.} = {0, 1, 2, ..., n}
Wahrsch.
x.
zu erzielen
*P(X = x.) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X ~ B(n;p)
"ZV
X
folgt Benomial-Verteilung mit Parametern
n
&
p
"
Erwartungswert
E(X) = n x p
(Mal-Zeichen)
Varianz
Var(X) = n x p x (1-p)
Normalverteilung
Verwendung in Psycho
Modellierung
von Daten
inferenzst. Verfahren setzen symmetrische Verteilug voraus
Annahme Pop. ist symm. -> NV = Modell für emp. Häufigkeitsverteilung
"Merkmal folgt NV", d. h. Merkmal wird ausreichend gut via NV beschrieben
(bei Vollerhebung nicht nötig, kumulierte Häuf. reichen)
Bestimmung von Wahrsch.
von Ereignissen
tetige ZV
X
für Ausprägungsgrade
kontinuierlicher Merkmale
graphisch
Definition
f(x)= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
kurz:
X~N(. . , . . )
Eigenschaften
f(x)
Maximum bei
x
= . .
f(x)
symmetrisch um . . ; *f(. . + x) = f(. . - x)
Verteilungsfunktion
stet. ZV
X
Verteilungsfunktion -> Integral:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ZV
X
nv ->
X~N(. . ; . . )
=> *F(x.) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Standardnormalverteilung
definiert:
Erwartungswert . . = 0
Varianz . . = 1
standardnv ZV
Z
nv ZV
X
zu snv ZV
Z
Z
= . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ZV
Z
folgt SNV:
Z~N(. . ; . . )
Eigenschaften: . . = 0 & . . = 1
=> für jede ZV
Z
mit
Z
= . . . . . gilt:
Z~N(0; 1)
graphisch
Verteilungsfunktion
F
der SNV
=
Z-Transformation
F(x. ) =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verteilungen von ZV geben Auftret.wahrsch. aller mögl. Ereignisse an
Verteilungsfamilie = mehrere Vert. des "gleichen Typs"; haben Parameter -> wenn numerische Werte bekannt -> Gestalt der Vert. bekannt