Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Чисельні методи (Метод виключення Гаусса. Модифікований метод Гаусса.,…
Чисельні методи
Метод виключення Гаусса. Модифікований метод Гаусса.
-
-
-
При цьому система буде несумісна, якщо в процесі перетворень ми отримаємо рівняння, в якому коефіцієнти при всіх невідомих рівні нулю, а вільний член відмінний від нуля;
якщо ж такого рівняння не існує, то система буде сумісною.
Сумісна система рівнянь буде визначеною, якщо вона зводиться до трикутного виду
невизначеною, якщо зводиться до трапецієдального виду (3) при k < n
Чисельні методи розв’язування нелінейних (алгебраїчних та трансцендентних) рівнянь. Два етапи розв’язування.
f(z)=0, де f(z) – задана функція дійсного або комплексного аргументу z; f(z) може бути многочленом степені n від z, тобто чисельні методи розв’язування алгебраїчних рівнянь вищих порядків і трансцендентних рівнянь.
Розв’язати рівняння означає знайти множину його коренів, тобто таких значень з деякого проміжку, при яких дане рівняння перетвориться в тотожність.
Універсальних методів для знаходження точних значень коренів алгебраїчних рівнянь степеня n ≥5 і трансцендентних рівнянь не існує.
Тому важливого значення набувають наближені методи знаходження коренів рівняння з достатньою для практики точністю.
-
-
-
-
Абсолютна та відносна похибки. Похибки різних типів операцій.
-
-
-
-
-
Обчислення значень елементарних функцій (за схемою Горнера).
-
-
-
-
-
Чисельне диференціювання.
Задача чисельного диференціювання полягає у знаходженні значень похідних функції y = f (x) у заданих точках у випадку, коли аналітичний запис функції f (x) невідомий або дуже складний чи функція задана таблично.
Привабливість чисельного підходу пояснюється наявністю простих залежностей, за допомогою яких похідні в заданих точках можна апроксимувати декількома значеннями функції в цих і близьких до них точках.
-
-
-
Математична модель системи (процесу).
сукупність математичних співвідношень (формул, рівнянь, логічних виразів)
-
-
функціональна залежність, що відображається математичною моделлю
-
-
Критерії, за якими розрізняють чисельні методи.
-
-
-
за ступенем чутливості
до погано обумовлених (або некоректних)
малиі зміни вхідних даних відповідають великі зміни розв’язку.
Частини процедур чисельних методів.
-
-
-
-
Стійкість та коректність задачі.
-
-
Задача називається стійкою за вхідними даними, якщо її розв’язок неперервно залежить від вхідних даних, тобто малі похибки вхідних даних спричиняють малі похибки розв’язку задачі.
Задача називається коректно поставленою, якщо для будь-яких вхідних даних існує єдиний і стійкий за вхідними даними її розв’язок.
Уточнення коренів. Метод дихтомії.
-
-
-
-
Задача наближення. Вузли інтерполяції.
Інтерполяція — в обчислювальній математиці спосіб знаходження проміжних значень величини за наявним дискретним набором відомих значень.
-
Задані точки (з приведеної таблиці) в декартовій системі координат.-
-
-
Інтерполяційний многочлен Лагранжа.
Step 1
Step 2
Step 3
-
Похибка інтерполяції. Похибка у вузлах інтерполяції.
-
-
-
-
Чисельні методи. Рекурсивність алгоритму чисельних методів.
Чисельні методи – це математичний інструментарій, за допомогою якого математична задача формулюється у вигляді, зручному для розв’язання на комп’ютері.
Ітерація – це повторення сукупності операцій або процедур для покращення наявного (поточного) наближеного розв'язку задачі.
Алгоритм ітерації
- Задається початкове наближення розв'язку
- На k -й ітерації методу k = (0,1, 2,...) буде поточне наближення розв'язку x^k
- x^(k + 1) = F(x^(k)), де F і є сукупністю операцій або процедур для покращення наближеного розв'язку задачі, яка є суттю конкретного чисельного методу.
- Перевіряється критерій останову, тобто перевіряється: чи є отримане наближення x(k + 1) розв'язку x* достатньо близьким. Якщо цього немає, то відбувається перехід до наступної ітерації, тобто до пункту 2.
Похибки обчислень. Джерела їх виникнення.
-
-
-
Відокремлення коренів. Способи відокремлення.
-
-
-
Метод хорд, дотичних, комбінований метод.
-
-
-
Параметри, які характеризують чисельні методи.
-
-
Методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Точні методи та методи послідовних наближень.
-
-
Точні методи. Два етапи їх здійснення.
-
Етапи
- перетворюють систему
до того чи іншого простого виду;
- розв’язують спрощену
систему і отримують значення невідомих.
-
Базові типи математичних задач.
-
