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Statistik (Induktive Statistik (Schätzprobleme: Statistisches Schätzen…

- - - - Gütekriterien
        
        Effizienz = stehen mehrere Schätzer zur Auswahl, ist i.d.R. derjenige zu bevorzugen, der den kleineren MSE aufweist.
        
        Erwartete quadratische Abweichung (MSE)
        = Varianz + Bias^2
        
        Konsistenz = Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Stichprobenmittel außerhalb eines beliebig kleinen Bereichs um den Erwartungswert herum realisiert, konvergiert für wachsendes n gegen Null -> 1. MSE konvergiert gegen Null 2. stochastische Konvergenz gegen den wahren Wert
        
        1. MSE Konsistenz
        
        MSE Konsistenz impliziert schwache Konsistenz
        
        Ein erwartungstreuer oder asymptotic erwartungstreuer Schätzer ist genau dann MSE-Konsistent, falls dessen Varianz für wachsendes n gegen Null konvergiert
        
        Stichprobenmittel und korrigierte Stichprobenvarianz sind MSE-konistent
        
        2. Schwache Konsistenz
        
        über die stärkere Form der MSE-Konsistenz
        
        anhand asymptotischer Resultate (GGZ + Stetigkeitssatz)
        
        direkt anhand der Definition
        
        Erwartungstreue = der Erwartungswert des Schätzers entspricht dem Parameterwert
        
        Verzerrung: Bias = Erwartungswert - Schätzer
        
        Asymptotisch erwartungstreu
        
        Stichprobenvarianz nicht erwartungstreu
        
        korrigierte Stichprobenvarianz mit n/(n-1)
    - - Konfidenzintervalle für Erwarungswerte
        
        Bei Normalverteilung und bekannter Varianz -> Standard, Formel 10.2.1
        
        Bei Nominalverteilung und unbekannter Varianz
        
        Schätzer für die Varianz = korrigierte Stichprobenvarianz
        
        T-Werte!
        
        Bei einer beliebigen Ausgangsverteilung
        
        Im Fall Varianz unbekannt -> Stichprobenvarianz
      - Konfidenzintervall für Erwartungswertdifferenzen
        
        Bei Normalverteilung und bekannten Varianzen
        
        analog zu 10.2.1
        
        Bei Normalverteilt und unbekannten Varianzen
        
        "gepoolten" Schätzung = Gruppenvarianz anteilig nach den jeweiligen Gruppengrößen (Varianz ~ Stichprobenvarianz)
        
        T-Werte!
        
        Bei beliebigen Ausgangsverteilungen
        
        ähnlich wie bei 1, aber Stichprobenvarianz
        
        Bei Abhängigkeit in Form verbundener Werte
        
        Stichprobenmittel der Differenz statt Differenz der Stichprobenmittel!
        -> Varianz(A-B)=Var(A)-Var(B)-2Cov(A,B)
        
        wenn gemeinsam normalverteilt -> Normalverteilung
        
        ansonsten: ähnlich Erwartungswert bei beliebiger Ausgangssituation (s.o. 3)
      - Konfidenzintervalle für Anteilswerte
        
        Annahme: 𝜋 = Stichprobenmittel
      - Konfidenzintervalle für Anteilswertdifferenzen
        
        gleiches Prinzip wie bei den Erwrtungswertdifferenzen
    - - Unabhängigkeitsannahme
      - Repräsentativität
      - Verteilung (identisch vs. heterogen? normal?)
      - Bei Differenzenschätzung
    - - Momentenmethode
        = gemäß GGZ laufen die stochastischen Werte gegen die korrespondierenden theoretischen Werte
        
        Zu schätzende Parameter als Funktion der theoretischen
        
        theoretische durch korrespondierende Stichprobenmomente ersetzen
      - Maximum-Likelihood-Methode
        = Unter welchem Parameterwert sind die Beobachtungen am wahrscheinlichsten?
      - Bayes-Methode
        = Welcher Parameterwert ist unter den Beobachtungen am wahrscheinlichsten
      - Kleinste-Quadratische-Methode
  - - - Tests über Erwartungswerte
      - Test über Erwartungswertdifferenzen
      - Nichparametische X^2 Tests
    - - Fehlerarten
    - - Kritische Werte