数字基带传输

调制

符号映射

数字调制

奈奎斯特准则

符号集合：可行符号所组成的集合A
M=|A|表示符号集合中元素的个数

集合的Bit承载量： $r=log_2(M)$

符号周期：传输一个符号所需要的平均时间$ T_s$
符号速率：单位时间内所传输的符号的个数$R_s = \frac{1}{T_s}$
bit速率：单位之间内所传输的bit数$ R_b=R_slog_2(M) $

将时间上离散的符号加载到时间上连续的波形

低通内插：$ s(t)=\Sigma_k a_k \phi_k(t) $

带限：只要g(t)是带限信号，
$s(t)=\Sigma_k a_k g(t-KT_s) $也是带限信号

需要无失真的恢复离散时间信号：解决符号间串扰（ISI）问题
$ s(nT_s)=a_ng(0)+\Sigma_{k\neq n}a_kg((n-k)T_s)) $

希望ISI为0，即：$ \Sigma_{k\neq n}a_kg((n-k)T_s))=0 $
即希望：$ g(kT_s)= \begin{cases} 1, &k=0 \cr 0, &k\neq 0 \end{cases} $

时域等效可以表示为：$g(t)\Sigma\delta(t+nT_s)=\delta(t) $
频域则表示为：$ \Sigma G(f+\frac{n}{T_s})=T_s $

通信速率和带宽效率

最大符号速率受限于带宽：$R_s=\frac{1}{T_s}\le 2W $

低通发送滤波器应满足残留对称条件

通信速率：$ R_b = R_s log_2(M)\le 2Wlog_2(M) $

带宽效率：$ \eta=\frac{R_b}{W}\le 2log_2(M)$

升余弦滤波器（第二代通信系统）

由于理想低通难以实现，所以常用满足残留对称
条件的非理想低通生成基带脉冲

平移前的cos函数：$\frac{T_s}{2}cos\frac{\pi T_s f}{2WT_s-1} $
定义：$ \alpha=2WT_s-1$，带宽比理想低通增加了多少比例
也称为滚降系数$\alpha=\frac{W-\frac{1}{2T_s}}{\frac 1 {2T_s}}, \alpha \in [0,1]$

$ H(f)=\begin{cases} T_s, &0\le |f| < \frac{1-\alpha}{2T_s} \cr \frac{T_s}{2} \left[ 1+cos \left[ \frac{\pi T_s}{\alpha} \left( |f|-\frac{1-\alpha}{2T_s} \right) \right] \right], & \frac{1-\alpha}{2T_s} \le |f| \le \frac{1+\alpha}{2T_s} \cr 0, &|f| > \frac{1+\alpha}{2T_s} \end{cases} $

性质

$ W=\frac{1+\alpha}{2T_s}=\frac{1+\alpha}{2}R_s \Rightarrow R_s/2 \le W \le R_s $

$ R_s = \frac 1 T_s =\frac 2 {1+\alpha} W \Rightarrow W \le R_s \le 2W $

带宽效率$ \eta_b=\frac{R_b}{W}=\frac{R_s log_2(|S|)}{W} \le 2log_2(|S|) $
对于升余弦滤波器：$ \eta_b=\frac{2log_2(|S|)}{1+\alpha} $

功率谱计算

解调

噪声

加性白高斯噪声Additive White Gaussian Noise

双边功率谱密度为：$ n_0 / 2$
噪声功率为：$Wn_0$

匹配滤波

三种接收方案：

直接抽样——抗噪声能力太差
能量累积（积分）——能提高信噪比，但不是最佳
匹配滤波（加权）

抽样时刻的信号功率：$ P_s= \left| \int_0^{T_s} \alpha_i h(t)g(t)dt \right| ^2 $
抽样时刻的噪声功率：$P_N=E \left[ \left| \int_0^{T_s} n(t)g(t)dt \right| ^2 \right] $