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二阶矩过程——时域分析 (相关理论 (自相关函数：设复随机过程\( X(t),t\in \mathbb{R} \)为二阶矩过程，\( R_X(t…
二阶矩过程——时域分析
相关理论
自相关函数：设复随机过程\( X(t),t\in \mathbb{R} \)为二阶矩过程，\( R_X(t,s) = E( X(t) \overline{X(s)} ) \)
自协方差函数：二阶矩过程，\(C_X(t,s)=E((X(t)-EX(t)) \overline{(X(s)-EX(s))} ) \)
互相关函数：\( X(t), Y(t) \) 为两个二阶矩过程，\( R_{XY}(t,s)=E(X(t)\overline{Y(s)}) \)
互协方差函数：二阶矩过程，\(C_{XY}(t,s)=E((X(t)-EX(t)) \overline{(Y(s)-EY(s))} ) \)
自相关函数存在性：\( |R_X(t,s)| = |E(X(t)\overline{X(s)} | \le E|(X(t)\overline{X(s)} \le (E(|X(t)|^2)E(|X(s)|^2))^{1/2} \)
随机过程的概念和分类
随机过程是一组依赖于实参数t的随机变量，可以看过二元函数 \( {\vec{X}(t, \omega ), (t, \omega ) \in \mathbb{R} \times \Omega }\)
固定\( \omega \)，将得到一个以t为自变量的函数，是随机过程的一次实现
固定t，将得到一个依赖于t的随机变量，分布为\( X(t) \) 的一维分布
固定n个时刻\( t_1,...,t_n \)，得到n维随机向量， 其联合分布为\( F_{X(t)} (x_1,...,x_n;t_1,...,t_n) \)
离散参量离散状态——伯努利过程
离散参量连续状态——AR（1）过程
连续参数离散状态——泊松过程
连续参数连续状态——布朗运动
严平稳
如果\( \forall n, \forall t_1,t_2,...,t_n, \forall D \)都有
\( f_{X(t_1),...,X(t_n)})(x_1,...,x_n)=f_{X(t_1+D),...,X(t_n+D)})(x_1,...,x_n) \)
则称\( X(t) \)是严平稳的
如果定义仅对\( n=1,2 \)成立，则称过程是二阶严平稳的
严平稳意为随机过程的有限维分布族随时间的平移保持不变
二阶矩过程
设随机过程\( X(t),t \in \mathbb{R} \)，如果\( \forall t \in \mathbb{R}, X(t) \)的均值和方差都存在，则为二阶矩过程
复二阶矩过程的自相关函数性质
共轭对称性：\( R_X(t,s)= \overline{R_X(s,t)} \)
加法乘法封闭性
二元非负定函数：\( \Sigma_{k=1}^n \Sigma_{m=1}^n R_X(t_k, t_m)z_k\overline{z_m} = \vec{Z}_T E(\vec{X} \vec{X}_H ) \overline{\vec{Z}} \)
宽平稳随机过程
宽平稳：随机过程 \( X(t), t \in T, \forall t, s \in T \)，都有
\( E(X(t)) = E(X(s)) \)
\( R_X(t,s)=R_X(t+D, s+D), \forall D \in T \)
联合宽平稳：两个宽平稳随机过程\(X(t), Y(t)\)
\( R_{XY}(t,s)=R_{XY}(t+D, s+D), \forall D \in T \)
\( R_X(\tau)=\overline{R_X(-\tau)} \)
\( R_X(0) \geq |m_X|^2 \)
\( |R_X(\tau)| \le R_X(0) \)
\( R_X(\tau)\) 是一元非负定函数
正交增量过程
对于二阶矩过程，\( \forall t_1 < t_2 \le t_3 < t_4 \) 满足
\( E \left( (X(t_4)-X(t_3)) \overline{(X(t_2)-X(t_1)} \right) = 0 \)
独立增量过程：\(X(t_4) - X(t_3) \)和\( X(t_2)-X(t_1) \)统计独立
平稳增量过程：增量\( X(t)-X(s) \)的分布仅仅依赖于\( t-s \)
随机过程X(t)，满足\( X(0)=0 \) ，则其为正交增量过程的充分必要条件是：\(R_X(s,t)=F(min(s,t)) \) （另外\( F(.) \)是单调不减的函数）
均方微积分
均方极限
设 \( X_n, n \in \mathbb{N} \)是一个随机变量序列，满足\( E(X_n^2<\infty)\)，设X为随机变量，满足\( E(X^2 < \infty ) \)。
如果\( \forall \epsilon > 0 , \exists N \in \mathbb{N} \)，使得当\(n > N\)时有 \( (E| X_n-X|^2)^{1/2}<\epsilon \)则称序列{\(X_n \)}均方收敛于X或序列{\(X_n\)}的均方极限为X
记作\( X_n \underrightarrow{m.s} X \)
数字特征的收敛性：
\( X_n \underrightarrow{m.s} X \Rightarrow E(X_n) \rightarrow EX \)
\( X_n \underrightarrow{m.s} X \Rightarrow Var(X_n) \rightarrow Var(X) \)
\(X_n \underrightarrow{m.s} X, Y_n \underrightarrow{m.s} Y \Rightarrow E(X_m\overline{Y_n}) \rightarrow E(X\overline{Y}) \)
极限的等价条件
Cauchy准则：\( X_n \underrightarrow{m.s} X \Leftrightarrow E|X_n-X_m|^2 \rightarrow 0, n, m \to \infty \)
Loeve准则：\( X_n \underrightarrow{m.s} X \Leftrightarrow E(X_n\overline{X_m}) \to C, n,m\to \infty \)
在具体极限未知的情况下，判断收敛性
均方连续
以概率1连续
如果二阶矩过程\( X(t), t\in \mathbb{R} \)，在\( t_0 \)点满足
\( X(t) \underrightarrow{m.s} X(t_0), t\to t_0 \)，则该过程在\(t_0\)点均方连续
下面三个命题互相等价：
\( R_X(t,s)\) 在\( (t,t) ,\forall t \in \mathbb{R} \)上连续
\(X(t)\)在\( \mathbb{R}\)上均方连续
\(R_X(t,s)在\ \mathbb{R} \times \mathbb{R}\)上连续
若随机过程具有宽平稳性，则上述三个性质可以进一步简化
\(R_X(\tau) \)在\(\tau=0\)处连续
\(X(t)\)在\( \mathbb{R} \)上均方连续
\(R_X(\tau) \)在\( \mathbb{R} \)上连续
均方导数