1.1 Elementi e strutture
Studio di una struttura o un componente suddividendoli in parti semplici delle quali si conoscono le proprietà, tenendo poi conto che queste parti siano collegate tra loro
ELEMENTO TRAVE
- elemento ad asse inizialmente rettilineo, individuato da due estremi (nodi) 1 e 2 attraverso i quali l'elemento scambia le azioni con l'esterno
- associato un sistema di riferimento locale:
asse X -> asse elemento da 1 a 2
asse Y e Z -> perpendicolare a X e coincidente con direzioni principali d'inerzia
ASTA
Sollecitato da solo carichi assiali
studio di soli spostamenti u secondo direzione x
fu1 e fu2 forze che dall'esterno vengono applicate agli estremi
u1 e u2 spostamenti nodi
1)eq equilibrio assiale
2)eq costitutiva del materiale
integrazione della seconda
Sistema matriciale delle due equazioni
eliminazione di Gauss per raggiungimento di sistema matriciale:
[k]{S}={f}
BARRA DI TORSIONE
sollecitato dal solo momento torcente
mx1 e mx2 momenti torcenti applicati ai nodi 1 e 2
alfax1 e alfax2 angoli di rotazione delle sezioni di estremità
1)eq di quilibrio
2)eq costitutiva del materaile
integro la seconda
sistema matriciale che con l'eliminazione di Gauss, mi fa arrivare al sistema [k]{s}={f}
TRAVE INFLESSA
elemento sollecitato da soli sforzi i taglio e o momenti flettenti
spostamenti dei punti della struttura in direzione ortogonale all'asse indeformato
v1 e v2 : frecce sui nodi
alfaz 1 e alfaz 2 rotazioni sui nodi
fv1 e fv2 forze applicate dall'esterno sull'elemento
mz1 e mz2 momenti applicati sull'elemento
8 variabili
1) eq equilibrio alla traslazione
2) eq equilibrio alla rotazione rispetto ad un nodo (es.2)
3) due eq che esprimono spostamenti e rotazioni relative in funzione di forze e moment, ottenute dalle leggi costitutive e esprimendo mz2 in funzione di mz1 e fv1
ottenimento di sistema matriciale con [a]{s}=[b]{f} che poi viene ridotto a [k]{s}={f}
Formulazione di rigidezza
n equazioni sistema algebrico = n gradi di libertà cinematici (spostamenti e/o rotazioni ai nodi dell'elemento
L sono di equilibrio.
2n variabili= n forze generalizzate e n spostamenti generalizzati
[a]{s}=[b]{f}
a è singolare mentre b, se l'elemento non è infinitamente rigido, non ha righe nulle e poiché le equazioni sono indipendenti essa è una matrice invertibile.
la matrice a è singolare il numero di volte pari al numero di gradi di libertà L di moto rigido che possiede l'elemento.
La matrice b invece non è mai singolare.
[k]matrice di rigidezza in quanto ad un aumento del valore dei suoi coefficienti corrisponde un aumento della rigidezza dell'elemento.
Valori di k crescenti implicano forze f crescenti a parità di spostamento.
Significato fisico dei coefficienti della matrice di rigidezza
- prima colonna: moltiplicata per v1 forze e momenti che dall'esterno devono essere esercitati affinché si abbia il solo spostamento v1
- analogo discorso per tutte e tre le altre colonne.
Sistemi di riferimento locale e globale
Locale: strettamente legato all'elemento di cui si sono definite le proprietà
x,y,z
globale: sistema unico di riferimento in cui vanno espresse tutte le equazioni relative ai singoli elementi orientati in modo generale
X,Y,Z
Occorre un sistema che mi metta in relazione gli spostamenti in x,y,z con quelli in X,Y,Z
tale meccanismo di trasformazione lineare è fornito dall'uso dei coseni direttori l,m,n 1,2,3 posti a formare la matrice R che, moltiplicata per il vettore spostamentiGLOBALI fornisce il vettore spostamentiLOCALI
Analogo discorso per le forze
la matrice R è [l1 m1 n1; l2 m2 n2; l3 m3 n3] nel caso generale
la matrice R diviene [l1 m1 0; l2 m2 0; 0 0 1] nel caso bidimensionale, con trasformazioni su singolo piano xy
La matrice di rigidezza nel sistema di riferimento globale è ottenuta da quella scritta nel sistema di riferimento locale.
Prendo {s}x = [R]{s}X e {f}x=[R]{f}X
moltiplico il vettore degli spostamenti per la matrice [K]x
premoltiplico per [R]^-1 ambo i membri
ottengo [k]X = [R]^-1[k]x[R] ovvero, poiché R è una matrice ortogonale
[k]X = [R]^T [k]x [R]