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Teoria dos Conjuntos (Se, por acaso, quisermos relacionar um elemento “t”…
Teoria dos Conjuntos
Se, por acaso, quisermos relacionar um elemento “t” a um conjunto “T”, a relação deverá ser
O elemento t pertence a T (t ∈ T)
O elemento t não pertence a T (t ∉ T)
os conjuntos são representados por letras maiúsculas, e os elementos por letras minúsculas
A = {a; a é um algarismo arábico}, que se lê “A é o conjunto do elemento “a” tal que “a” é um algarismo arábico.
A: {a ∈ N / 0 < a < 11}
Outra maneira para definir conjunto consiste em escrever uma lista dos seus elementos entre chaves
Um conjunto poderá ser representado por diagramas
A: [1,10] → significa dizer que o número 1 e o 10 pertencem ao conjunto
C: ] 1, 9 [ → ] [ significa que o 1 e o 9 não pertencem ao conjunto
A = {0, 1, 2, 3, ... , 8}
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
UNIÃO OU REUNIÃO
(soma +) "não há algo em comum" = REUNIÃO
A = {a,b,c} e B= {d, e, f} -> A∪B = {a,b,c,d,e,f}
Identificaremos uma união entre dois conjuntos quando tivermos o termo OU
∪ (união) há algo em comum
Podemos pensar em um novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que pertencem a A ou que pertencem a B. Nesse caso, o novo conjunto é C = {1,2,3,4,5,6,7,8}
Assim, A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A ou x ∈ B}
o OU dá ideia de união, de algo comum, se há elemento em comum, já se faz o diagrama com intersecção
Considerando os conjuntos A = {1,2,3,4,5} e B = {4,5,6,7,8}
Se o conjunto C é a união, então, vai ser: C= A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8}
INTERSECÇÃO
Identificaremos uma intersecção entre dois conjuntos quando tivermos os termos “e”, “simultaneamente” e “ao mesmo tempo”
Considerando os conjuntos A = {1,2,3,4,5} e B = {4,5,6,7,8}
Podemos pensar em um novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que pertencem a A e que pertencem a B. Nesse caso, o novo conjunto é C = {4,5}
A ∩ B = C = {4,5}
O máximo de uma intersecção entre dois ou mais conjuntos é sempre o menor dos conjuntos
O mínimo da intersecção é o conjunto vazio
DIFERENÇA A\B
Essa diferença não significa subtração
Conceito: sejam A e B dois conjuntos quaisquer, chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B
Identificaremos uma diferença entre dois conjuntos quando tivermos os termos “apenas”, “somente” e “exclusivamente”
Exemplo 1: A: {1,2,3,4,} B: {4,5,6,7}
A-B: {1,2,3}
B-A: {5,6,7}
COMPLEMENTAR
No conjunto abaixo, o complementar de A é o que não está em A, e está apenas em B e o que está em C
CA = {5, 6, 7, 8}
Complementar é aquilo que complementa o todo, o universo
CB = {2, 3, 7, 8}
¬A = complementar de A Cx(A) -> o que não esta em A
Negação ¬ : e vira ou
RELAÇÃO DE INCLUSÃO: relação existente entre conjunto e subconjunto ou subconjunto e conjunto. Caso se queira relacionar um subconjunto B a um conjunto A, a relação deverá ser:
A ⊃ B (A contém B) e B ⊂ A (B está contido em A)
no diagrama a seguir, temos que A contém o conjunto B. Logo, A é um conjunto, e B é um subconjunto
NÚMERO DE SUBCONJUNTOS
Exemplo de número de subconjuntos de um conjunto:
A = {a, b} = {a}, {b}, {a, b}, ∅;
temos neste caso 4 subconjuntos de um conjunto
A com 2 elementos
Todo conjunto tem como subconjunto ele mesmo e o ∅
O Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento e está contido em qualquer conjunto. Representação: ∅ ou { }, nunca ambos juntos{ ∅ }.
se o conjunto possui 03(três) elementos: C= {a, b, c} = {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, { } = 2³ = 8 subconjuntos
Obs.: n. de subconjuntos = 2 elevado a n ; n. de elementos
subconjunto: 2n= número de linhas; semelhança com o raciocínio lógico
A Teoria de Conjuntos traz uma interpretação concreta dos fundamentos utilizados na lógica proposicional
Conjunto = coleção de elementos que possuem características comuns
fica caracterizado por uma regra quando se permite decidir se um elemento pertence ou não ao conjunto
José ∈ H (lê-se: José é um elemento do conjunto H
Orquídea ∉ H (lê-se: Orquídea não é elemento do conjunto H)
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA: consiste em relacionar um elemento a um determinado conjunto.