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第二章——波函数与薛定谔方程 (一维势场中的粒子 (能量本征态的一般性质 (设\( \psi(x) \)是定态方程的一个解，则\(…

- - - - \( \psi_n(x)=\begin{cases}0, & 0 < x < a \cr \sqrt{\frac 2 a} sin( \frac{n\pi}{a} x), &otherwise\end{cases} \)
      - 能量量子化：\( E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2ma^2}, n=1,2,3,... \)
      - \( V(x)=\begin{cases}0, & 0 < x < a \cr \infty, & x < 0, x > a \end{cases} \)
    - - \( V(x) = \begin{cases}0, & |x| < a/2 \cr V_0, &|x| > a/2 \end{cases} \)
      - 阱外：\( \psi(x) = \begin{cases}A e^{-\beta x}, &x \geq a/2 \cr B e^{+\beta x}, & x \le - a/2 \end{cases} \)
        （束缚态 \( 0 < E < V0 \) ）
      - 阱内：
        偶宇称态：\( \xi^2 + \eta^2 = mV_0\alpha^2/2\hbar^2 \)
        奇宇称态：\( -\xi cot\xi = \eta \)
- - - - 由薛定谔方程可以推出\( \frac{\partial}{\partial t}w+\nabla\cdot\vec{j}=0 \)
        其中\(w\)为概率密度，\(\vec{j}\)为概率流密度\(\vec{j}(\vec{r}, t)=-\frac{i\hbar}{2m}(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*) \)
      - 在全空间积分可得\( \frac{d}{dt}\int_{all}\rho(\vec{r}, t)d\tau=0 \)
        即一个粒子在全空间中找到它的概率之和不随时间变化