第1章 复数
复数
复数的定义
复数的运算
四则运算
乘方
(棣莫弗公式)
复数的表示
代数形式
z=x+iy
三角形式
\(z=r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)\)
乘除与角度
乘除与模
乘除
加减
\(\lvert z_1z_2\rvert=\lvert z_1\rvert \cdot\lvert z_2\rvert\)
\(\lvert {z_1\over z_2}\rvert={\lvert z_1\rvert\over\lvert z_2\rvert}\)
\(z_1z_2=r_1r_2(\cos(\theta_1+\theta_2)+\mathrm{i}\sin(\theta_1+\theta_2))\)
\({z_1\over z_2}={r_1\over r_2}(\cos(\theta_1-\theta_2)+\mathrm{i}\sin(\theta_1+\theta_2))\)
开方
指数形式
\(z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\)
Euler公式 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta}\)
复数共轭
共轭操作与四则运算
的顺序可以互换
曲线
是否光滑
是否有方向
（可依据参数增加的方向给出曲线的方向）
是否有重点
（存在\(t_1,t_2\in [\alpha,\beta]\)，
使\((x(t_1),y(t_1))=(x(t_2),y(t_2))\)
称这样的点为重点）
闭曲线
起点和终点重合
简单曲线
无重点且光滑
简单闭曲线
起点和终点重合
无其他重点
光滑
平面点集\(S\)
平面一点\(z_0\)
内点
若\(\exists B_\delta (z_0) \subset S \)，则称\(z_0\)为平面点集\(S\)的内点
\(\delta\)-邻域
\( B_\delta (z_0)=\{ \lvert z-z_0\rvert \lt\delta \} \)
开集
若\(S\)的每点都是内点，则\(S\)为开集
闭集
开集在复平面上的补集为闭集
开区域（区域）
若\(D\)为开集且道路连通，则\(D\)为开区域
道路连通
对\(D\)内任意两点都可用一条完全包含于\(D\)内的光滑曲线连接
闭区域
开区域和它的边界
有界
无界
孤立点
若\(z_0\)的某一邻域\(B_\delta(z_0)\)内除\(z_0\)外，不含\(S\)的点，则称\(z_0\)是\(S\)的一个孤立点
边界点
若\(z_0\)的任一邻域既有\(S\)的点，也有\(S^C\)的点，
则\(z_0\)为\(S\)的边界点
边界\(\partial S\)
\(S\)的闭包\(\bar S\)
\(S\)与边界\(\partial S\)的并集
单连通
区域\(D\)内任一条简单闭曲线的内部区域
完全包含于\(D\)内，则称\(D\)为单连通的
多连通
单连通区域内部
没有洞
逆运算