Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

Vecka 3 (Föreläsning 7 (System av ODE (Linjära första ordningens system…

- - - - x' = A(t) x + F(t)
    - - Skriv som ett första ordningens system genom att införa nya funktioner som är lika med derivatorna
    - - Sats: Superpositionsprincipen - om x till xk är lösningar till x' = Ax så är också alla linjära kombinationer av vektorerna x lösningar till systemet.
      - Sats: existensen och entydighetens sats - Begynnelsevärdesproblem där A(t) och F(t) är kontinuerliga på I har en entydig lösning på I
      - Def - Vi säger att lösningsvektorerna är linjärt oberoende om man kan skriva en linjär kombination = 0 där alla konstanter inte är noll.
      - Sats - En mängd lösningsvektorer är linjärt oberoende om och endast om wronskianen inte är lika med noll
      - Def - Om man har n linjärt oberoende lösningar så bildar de en fundamentalmängd av lösningar. Wronskianen är inte lika med noll. I matrisform bildar lösningarna fundamentalmatrisen.
- - - - Vi får att x' = lamda x
        
        Vi kan skriva om x som en konstant gånger en exponentialfunktion med lambda i exponenten
        
        Vi kan förenkla ekvation till Ak = lambda k
        
        Slutsats: Vi kan använda egenvektorer och egenvärden för att hitta lösningar
    - - Fall 1: A har n olika egenvärden som är reella eller komplexa
      - Fall 2: A har multipla egenvärden. Dvs A har multipla rötter