PROBABILITA'

Eventi Aleatori

Definizioni

Chiamiamo:

  • esperimento aleatorio, o casuale, ogni riferimento il cui risultato non può essere previsto in anticipo;
  • spazio campionario l'insieme S di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio;
  • evento aleatorio ogni sottoinsieme dello spazio campionario

Particolari eventi sono:

  • gli eventi costituiti da un solo elemento dello spazio campionario, detti eventi elementari
  • gli eventi coincidenti con lo spazio campionario, detti **eventi certi
  • gli eventi che non hanno elementi in S, rappresentati dall'insieme vuoto, che chiamiamo eventi impossibili

Definizione di probabilità

Classica

La probabilità di un evento E è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli e il numero di tutti i casi ugualmente possibili


p(E) = numero dei casi favorevoli / numero dei casi possibili

Statistica

La probabilità di un evento E è il rapporto fra il numero delle prove favorevoli e il numero, ritenuto abbastanza elevato, delle prove effettuate


p(E) = numero delle prove favorevole / numero delle prove effettuate

Soggettiva

La probabilità di un evento è il grado di fiducia, espresso da un numero compreso fra 0 e 1, che una persona attribuisce al verificarsi dell'evento

Somma logica di eventi

Unione e intersezione

Dati due eventi E ed E' di uno spazio campionario S:

  • l'evento unione, o somma logica degli eventi, è l'insieme di tutti gli elementi di S che appartengono a E o a E'; lo indichiamo con E U E'
  • l'evento intersezione, o prodotto logico degli eventi, è l'insieme di tutti gli elementi di S che appartengono a E e a E'; lo indichiamo con E /\ E'

Eventi incompatibili ed eventi compatibili

Due eventi sono incompatibili quando il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell'altro

Due eventi sono compatibili quando il verificarsi di uno non esclude il verificarsi dell'altro

La probabilità della somma logica E U E' di due eventi E ed E' è uguale alla somma delle probabilità di E e di E', diminuita della probabilità dell'evento intersezione


p(E U E') = p(E) + p(E') - p (E /\ E')

Prodotto logico di eventi

Eventi dipendenti e indipendenti

Due eventi E ed E' sono:

  • dipendenti se il verificarsi di uno influenza il verificarsi dell'altro
  • indipendenti se il verificarsi di uno non influenza il verificarsi dell'altro

Probabilità condizionata

Chiamiamo probabilità condizionata p(E' | E) di E' rispetto a E la probabilità di E' se si suppone che si sia verificato E

La probabilità del prodotto logico E /\ E' di due eventi E ed E' è uguale al prodotto delle probabilità di E per la probabilità condizionata di E', supposto che si sia verificato E


p(E /\ E') = p(E) x p(E' | E)


In caso di eventi indipendenti invece:


p(E /\ E') = p(E) x p(E')

Principio fondamentale del calcolo combinatorio

Se un oggetto è univocamente individuato in una sequenza di n scelte successive, tali che siano: K1 possibilità per la prima scelta, K2 per la seconda, Kn per la n-esima, il numero totale di oggetti che si possono formare con tali scelte è il prodotto: K1 x K2 x ... x Kn