Radicali in R
Definizione
Chiamiamo numero irrazionale ogni numero che può essere rappresentato da un numero decimale illimitato non periodico.
I radicali sono numeri irrazionali
Chiamiamo numero reale ogni numero che sia razionale o irrazionale e indichiamo con R l'insieme dei numeri reali
Radici quadrate e radici cubiche
La radice quadrata di un numero a > 0 è il numero b > 0 che elevato al quadrato dà a
La radice cubica di un numero a qualsiasi è il numero b che elevato al cubo dà a
Radici ennesime
La radice n-esima del numero reale a. con n numero naturale diverso da 0:
- se n è pari, esiste solo per a > 0 ed è il numero reale b > 0 tale che b elevato alla n sia uguale ad a
- se n è dispari, esiste per ogni a appartenente a R ed è il numero b appartenente a R tale che b elevato alla n sia uguale ad a
.
Condizioni di esistenza
- se n è pari, la radice n-esima di a esiste per ogni a > 0
- se n è dispari, la radice n-esima di a esiste per ogni a appartenente a R
Studio del segno
- è sempre positivo o nullo se n è pari
- ha lo stesso segno del radicando se n è dispari
Proprietà invariantiva
Considerando un radicale il cui radicando è positivo o nullo, se moltiplichiamo l'indice del radicale e l'esponente del radicando per uno stesso numero naturale diverso da 0, otteniamo un radicale equivalente
Semplificazione
Possiamo semplificare un radicale, con radicando positivo, in cui indice ed esponente del radicando hanno un fattore comune, dividendoli per il fattore stesso.
Se il fattore m per cui dividiamo è il massimo comune divisore dell'indice dell'esponente del radicando, il radicale che otteniamo è irriducibile, cioè non può essere ulteriormente semplificato
Riduzione allo stesso indice
Utilizzando la proprietà invariantiva, possiamo trasformare radicali con indici diversi in radicali con lo stesso indice.
Per fare ciò utilizziamo il minimo comune multiplo fra gli indici
Confronto
- Se due radicali hanno lo stesso indice, è maggiore quello con il radicando maggiore
- Se due radicali non hanno lo stesso indice, possiamo confrontarli considerando radicali equivalenti con lo stesso indice