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Radicali in R (Definizione (Chiamiamo numero irrazionale ogni numero che…
Radicali in R
Definizione
Chiamiamo numero irrazionale ogni numero che può essere rappresentato da un numero decimale illimitato non periodico.
I radicali sono numeri irrazionali
Chiamiamo numero reale ogni numero che sia razionale o irrazionale e indichiamo con R l'insieme dei numeri reali
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Radici ennesime
La radice n-esima del numero reale a. con n numero naturale diverso da 0:
- se n è pari, esiste solo per a > 0 ed è il numero reale b > 0 tale che b elevato alla n sia uguale ad a
- se n è dispari, esiste per ogni a appartenente a R ed è il numero b appartenente a R tale che b elevato alla n sia uguale ad a
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Condizioni di esistenza
- se n è pari, la radice n-esima di a esiste per ogni a > 0
- se n è dispari, la radice n-esima di a esiste per ogni a appartenente a R
Studio del segno
- è sempre positivo o nullo se n è pari
- ha lo stesso segno del radicando se n è dispari
Proprietà invariantiva
Considerando un radicale il cui radicando è positivo o nullo, se moltiplichiamo l'indice del radicale e l'esponente del radicando per uno stesso numero naturale diverso da 0, otteniamo un radicale equivalente
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Semplificazione
Possiamo semplificare un radicale, con radicando positivo, in cui indice ed esponente del radicando hanno un fattore comune, dividendoli per il fattore stesso.
Se il fattore m per cui dividiamo è il massimo comune divisore dell'indice dell'esponente del radicando, il radicale che otteniamo è irriducibile, cioè non può essere ulteriormente semplificato
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Confronto
- Se due radicali hanno lo stesso indice, è maggiore quello con il radicando maggiore
- Se due radicali non hanno lo stesso indice, possiamo confrontarli considerando radicali equivalenti con lo stesso indice