Sistemi lineari
Definizione
Un sistema di equazioni è un insieme di due o più per le quali cerchiamo le soluzioni comuni, ossia i valori, da attribuire alle incognite, che verificano contemporaneamente tutte le equazioni.
Soluzioni
Le soluzioni di un sistema sono le soluzioni comuni a tutte le equazioni che la compongono
Due sistemi sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni
Un sistema è:
- determinato se ha un numero finito di soluzioni
- impossibile se non ha soluzioni
- indeterminato se ha infinite soluzioni
Grado di un sistema
Il grado di un sistema intero è il prodotto dei gradi delle sue equazioni
Forma normale
La forma normale (o canonica) di un sistema di due equazioni in x e y è:
ax + bx = c
a'x + b'x = c'
Interpretazione grafica di un sistema
Da un punto di vista grafico, le soluzioni di un sistema lineare di due equazioni in due incognite sono le coordinate dei punti di intersezione fra le due rette che rappresentano le equazioni
Nel sistema indeterminato le rette sono coincidenti
Nel sistema impossibile le rette hanno lo stesso coefficiente angolare e sono perciò parallele, ma distinte
Le soluzioni del sistema determinato rappresentano le coordinate del punto di intersezione delle rette incidenti che rappresentano le equazioni
Metodi di risoluzione
Metodo del confronto
Metodo di riduzione
Metodo di sostituzione
Importante
Prima di applicare qualsiasi metodo di risoluzione è necessario ottenere la forma normale del sistema
Se in un sistema ricaviamo una delle incognite in una delle equazioni e sostituiamo
l'espressione ottenuta in un'altra equazione, otteniamo un sistema equivalente
Se in un sistema ricaviamo la stessa incognita in entrambe le equazioni e uguagliamo le espressioni ottenute, otteniamo un'equazione che contiene soltanto l'altra incognita.
Se sommiamo o sottraiamo membro a membro due equazioni di un sistema e sostituiamo l'equazione ottenuta a una delle due equazioni di partenza, otteniamo un sistema equivalente
Confronto tra i rapporti dei coefficienti
Dato il sistema
ax + bx = c
a'x + b'x = c'
con a', b' e c' diversi da 0
se a / a' = b / b' il sistema è determinato
se a / a' = b / b' = c / c' il sistema è impossibile
se a / a' = b / b' = c / c' il sistema è indeterminato