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Finanz Mathematik :checkered_flag: :checkered_flag: :checkered_flag: (1…
Finanz Mathematik :checkered_flag: :checkered_flag: :checkered_flag:
1
Grundlagen :checkered_flag:
1.2
Zinsrechnung :checkered_flag:
Zinsen
Habenzinsen
Sollzinsen
Prämisse
Fristigkeitsunabhängigkeit
Sollzins=Habenzins
Vollkommener Markt
Nominelle Zinsen
Notationen und Begriffen :fire:
Zinsfuß =
p
Zinssatz
r
= (p/100)
Aufzinsungsfaktor
q
= (r+1)
Anfängliche Höhe eines Vermögens (
Barwert
genannt)
K'0
Stand des Kapitals am Ende (
Endwert
genannt)
K'T
Abzinsung- oder Diskontierungsfaktor
v
= q^(-1)
Basis-Zinsmodell
Zeitmodell (0,1,...,T) (Standardperiode: t= ein Jahr)
Zinssatz
r
Zinskapitalisierung (Zinseszins)
Bestimmung des Endwertes :red_flag:
Allgemein
K'T(r)
=K'0
*
(1+p/100)^T=K'0
*
(1+r)^T=K'0
*
q^T
Periodenübergreifende Aufzeichnung
K`T
=K'0*q^T
Zinseszinseffekt
Diskontierung und Abzinsung
K'1
<= K'0*q
K'0
K'1*v =>
Verallgemeinertes Zinsmodell
K'T
=K'0*(1+r'1)...(1+r'T)
K'0
=K'T
*
v'1
*
...
*
v'T
Unterjährige geometrische Verzinsung :red_flag:
Notationen :fire:
Anzahl von unterjährigen Abschnitten
M
Der nominelle Jahreszinssatz =
u
Unterjähriger Zinssatz =
u/m
Der effektive Jahreszins =
r'm
Ein unterjähriger Abschnitt
m
Formeln
r'm
=(1+(u/m))^m-
1
K'T
=K'0
*
(1+(u/M))^(m
*
T)
Oder: =K'0
*
(q+r'm)^T
u'm
=m((1+r)^(1/m)-1)
Taggenaue Zinsberechnung
t
=x/X (oder. Tage/Tage im Jahr)
K't
(a.k.a. x/X)=K'0
*
(1+r)^
t
(a.k.a. x/X)
Kontinuierliche Verzinsung :red_flag:
Formeln
r'm->∞
=e^u-1
u'm->∞
=ln(1+r) :red_flag:
K'T
=K'0
*
e^(u
*
t)
Zeitproportionale Zinsverrechnung :red_flag:
Formeln
K'T
=(1+t*u)
Ez
Gemischte Verzinsungsformen (Alles zusammen verrechnen und
später addieren)
1.3
Bewertung von Zahlungsströmen: Barwert :checkered_flag:
Endwert eines Zahlungsstroms
K'T(r)
= Σ:z't*q^(T-t)
Barwert eines Zahlungsstromes
K'0(r)
= Σ:z't*v^(t)
Verallgemeinertes Zinsmodell
Barwert eines Zahlungsstromes
K'0(r'1...r'T)
= Σ:z't/(1+r'1)
*
...
*
(1+r't)
d.h die Zinsen haben sich während des Jahres verändert, deswegen hat r einen Index, der ist hier net bezeichnet, aber wird als S bezeichnet :!:
Endwert eines Zahlungsstroms
K'T(r'1...r'T)
= Σ:z't
*
(1+r'1)
*
...
*
(1+r't)
Ausrechnung von Bar und Endwerten in s (zB: 0<s<1)
Tag der Auszahlung nicht vergessen!!!1 :red_flag:
Ausrechnung von K'0
Ausrechnung von K's
s
=Tage/Tage im Jahr
Äquivalenzprinzip
Wenn
K's eines Z =K's anderes Z
Dann
sind sie Äquivalent
Eigenschaften äquivalenten Zahlungsströmen
2
Vervielfältigung oder Addition von Z resultiert in Vervielfältigung und Addition für alle K's/t
1
Sie sind für alle s und t gleich
3
Zu unterschiedlichen Zeiten mit r>0 sind sie nie gleich
1.4
Kapitalwert :checkered_flag:
Notationen :fire:
az't
Auszahlung zu einem Bestimmten Zeitpunkt
ez't
Einzahlung zu einem Bestimmten Zeitpunkt
z't
Formal= ez't-az't
Kapitalwert (Net present value)
K'0(r)
=-az'0
*
v^0+Σ:z't
*
v^t
In diesem Fall ist der erste Zahlungsstrom negativ und wird mit dem Index 0 bezeichnet. :!:
Verallgemeinerertes Zahlungmodell
K'0(r)
=-az'0+Σ:z'(t'i)
*
v^(t'i)
Kapitalwertkriterium
Def
Σ:z't*q^(T-t)>az'0
1.5
Aufgaben zu Kapitel 1 :checkered_flag:
1.1.1
Anfang mit t=0
Gerade Dividenden zahlen nicht mit
1.1.2
Zinssätze verändern sich nicht beim Wechsel von Zahlungsstrommodels
1.1.4
Vorschüssiger Kredit untermeint, dass die Erste Zinszahlung sofort bei der Empfang der Kredit getilgt werden wuss
1.2.8
Bei der Berechnung der optimalen Entscheidung sollen die Pauschalpreisen auch "Verzinst" werden
1.2.9
Durchschnittlicher Jahreszinssatz
Geometrisches Mittel=(x'1
*
...
*
x'n)^(1/n)
Für die Zinsen soll man sie in Form von 1.03 schreiben (anstatt 3) :red_flag:
Teil B vor der Prüfung durchgucken :black_flag:
1.2.3
Jährlich anfallen heißt am 01.01.2xxx
1.2.4
Kontakttafel beginnt mit 1 Jahr
Anhang
Tageszählung
(
Tag
(Datum 2) -
Tag
(Datum 1)) +(
Monat
(Datum 2) -
Monat
(Datum 1))+30 +(
Jahr
(Datum 2) -
Jahr
(Datum 1))+365
Rechenregel bei den Potenzen und Logarithmen
ln(ab)
=ln(a)+ln(b)
e^a*e^b
=e^(a+b)
Ln(a/b)
=ln(a)-ln(b)
ln(a^b)
=b*ln(a)
Kapitalverdoppelung
Regel 72
Eigenschaften der Logarithmen
Binomische Formeln
(a+b)^2
=a^2+2ab+b^2
(a+b)^3
=a^3 + 3a^(2)*b + 3ab^2 + b^3
1.3.2
Bei Vermögensberechnung ist der Anfangskapital mitzuzahlen
1.4.1
cp rechnet man die Unterjährigen Zinsen exponentiel:zB 1.04^0.25 für ein vierteljähriges Zins
1.1
Einführung :check:
Zahlungsstrommodell
Notation :fire:
Z
Reihe allen Ein- und Auszahlungen
z't
T
Gesamte Zeit
t
bestimmter Zeitpunkt
z't
Zahlungsstrom zum Zeitpunkt
t
z'(t'i)
Zahlungsstrom zum Zeitpunkt
t'i
zum Teil der nicht
äquidistanter
Zeitpunkt-reihe
t'i
Ein Teil der nicht äquidistanter Zeitpunkt-reihe
n
Die gesamte Anzahl von
i
i
ein Teil von bestimmten nicht
äquidistanten
Zeitabschnitt
Vor- und Nachschüssige Zahlungen
Verallgemeinerter Zahlungsstrom :pen:
Tagzählungmethoden A/B
:recycle:
30/365
Echt/360
Echt/echt
Convention: Erste Tag gilt, letzte nicht.
Ein-,Auszahlungstag (¿Zinstage?)
Äquidistanz
Arten der finanzwirtschaftlichen Vorgängen
Standardbond
Endfällige Tilgung
Kupon
Zerobond
Nennwert
Standartinvestition
Ratenkredit
Endfälliges Darlehen
Unterjähriger Erwerb
Aktieninvestment
Thesaurierender Investmentfond
Neue Begriffe
Zu pari erwerben
Emittent
Ausfallrisiko
Desinvestition
Prämisse:Sichere Zahlungen
Planningsperspektive (Ex ante)
Unsicherheit bei ungeplanten Desinvestition
Kontrollperspektive (Ex post)
Alles ist schon realisiert
2
Renten- und Tilgungsrechnung :checkered_flag:
2.1
Rentenrechnung :checkered_flag:
Zeitrente
Def
Vorschüssig (Pränumerando)
Nachschüssig (Postnumerando)
Stetige Rente
Endwert der Rente
Rentenendwertfaktor
REF
(s'T)
REF
=(q^T-1)/(r)
Oder RBF*q^T
Dynamische Rente :red_flag:
REF
=((q^T-c^T)/(q-c))
Nachschüssig
R*REF
Vorschüssig
R
*
REF
*q
Barwert der Rente*q^(T)
Barwert der Rente
Nachschüssig
Endwert der Rente*q^(-T)
R*RBF
Vorschüssig
R
*
RBF
*q
Rentenbarwertfaktor
RBF
Dynamische Rente :red_flag:
RBF
=((q^T-c^T)/(q-c))*q^-T
Oder REF*q^(-T)
RBF
=(1-q^(-T))/(r)
Notationen :fire:
h
Steigerungssatz
1+h=
c
q^(1/12)-1=
r'M
Monatszins
n
Anzahl der Jahren der Rentenzahlung
T
zuerst das selbe wie
n
, danach aber die Anzahl der Jahren der Aufschubzeit
EB
Einmalbetrag (bzw. aufgeschobene Summe für die Finanzierung der Rente)
Unterjährige Rente
r'M=q^(1/12)-1
Endwert der Rente
R
*
R
E
F(r'm,T)
*
q'M
Barwert der Rente
R
*
R
B
F(r'm,T)
*
q'M
Aufgeschobene Rente
Abzinsen zum t=0
Barwert
*
q^(-T)=
EB
Zuerst bestimmen wir den Barwert zum Zeitpunkt T (da wird das neue Zeichen
n
benutzt)
R
*
RBF(r,
n
)
*
q
Systematische Übersicht: Seite 57-58
2.2
Tilgungsrechnung :checkered_flag:
Annuitätentilgung
Äquivalenzprinzip
Einsatz 1
A=S'0*KWF(r,T) :red_flag:
KWF=(q^T*(q-1))/(q^T-1) (Oder RBF^(-1))
S'0=A*RBF(r,T) :red_flag:
Barwert Schuld = Barwert Annuität
Die vorschüssige Annuität wird einfach mit q multipliziert (wie bei der Rente) :black_flag:
Einsatz 2
A=S'T*RVF(r,T) :red_flag:
RVF=(q-1)/(q^T-1)
S'T=A
*
REF(r,T) :red_flag:
Endwert Schuld = Endwert Annuität
Def
Tilgungsplan
Restschuld't
=S'0
*
(q^T-q^t)/(q^T-1) :red_flag:
Zinszahlung't
=S'0
*
(q^T-q^(t-1))*(q-1)/(q^T-1) :red_flag:
RS'0=S'0
RS'T=0
Tilgung't
=S'0(q^(t-1)*(q-1)/(q^T-1) :red_flag:
oder =A-Z't
T(Zeit)
=(ln(A)-ln(A-S'0*r))/(ln(q)) :red_flag:
Bei nicht gerade Laufzeit Untermeint eine Vornahme der Sonderzahlung
Notationen :fire:
r
vereinbarter Zinssatz
Z't
Zinszahlung der Periode
RS't
Restschuld am Ende der Periode
T't
Tilgung der Periode t
S'0
Kreditbetrag (Anfangsschuld)
A't
=T't+Z't Annuität der Periode t
KWF
=RBF^(-1) Kapitalwiedergewinnungsfaktor
RVF
=REF^(-1) Restwertverteilungsfaktor
3
Kurs. und Renditerechnung :checkered_flag:
3.1
Kursrechnung :checkered_flag:
Notationen :fire:
i
Nominalzinssatz eines Wertpapiers
N
Nominalwert des Bonds
g
Wachstumsfaktor der Dividenden
D
Die Höhe der aktuellen Dividende
v
Wert der Aktie
Terminologie
Preis zu pari
r=i
Fairer Preis=Fairer Kurs
= Barwert des Finanztitels (Zahlungsstroms)
Preis über pari
r<i
Preis unter Pari
r>i
Law of one price
Zwei Titel mit identische Preisen haben einen identischen Endwert und vice versa.
Formeln
Preis eines Bonds'0(r)
=Z*RBF+Nq^-T
Preis eines Zerobondes (r,T)
=N*q^-T
D't
=D*(1+g)^t
Preis eines Bonds'0(r)
=N
*
((i/r)+(1-i/r)*q^-T)
v'0
=D'1/(r-g)
Achtung :red_flag: Manchmal muss man die D nicht multiplizieren
Dividendendiskontierungsmodelle
Gordon Growth Model
Annahme dass der Zins ewig lang gleichleibt
Ersatz von r mit dem von Investoren geforderten Zins
Aufgaben
Aufgabe 3.1.4 :black_flag: :black_flag:
3.1.4 KWF weist auf die höhe der Ausschüttenden Summe auf, die pro eine Einheit eingesetztes Kapital verdient wird :red_flag:
3.2
Renditerechnung :checkered_flag:
Einperiodiges Investment
Notationen :fire:
Vermögensbetrag
v
Rentabilität
r
Zinsfuß, bei dem der K'0=0
r'I
Wiederanlagezissatz
r'0
Modifizierte interne Rendite
r'B
Gesamtwert des Fonds zu Beginn
v'0
Saldo von
az
un
ez
des Fonds in der Zeitperiode t-(t+1)
z't
Formeln
r(Einperiodiges Investment)
=(v'1^/v'0)-1
Ln(v'1/v'0) geht auch
r(Mehrperiodiges Investment)
=r(0,T)=(v'T-v'0)/(v'0)
Annualisierte r'G
=(П(1+r't))^(1/T)-1
r't
=(v't-v'(t-1))
K'0
=-az'0+Σz't
*
q^-t=
0
azq^T-Σzq^T-t=0
Das ist für Discriminant etc.
r'B
=(1+r'0)*((1/az'0)Σ(z't(1+r'0)^-t))^T-1
П(v't/(v'(t-1)))-1=
r'ZGR Gesamt
(П(1+r't))^T-1=
r'ZGR Annual
Endfälliges mehrperiodiges Investment
Mehrperiodiges Investment mit zwischenzeitlichen Rückflüssen
Spot rate
Yield to maturity
Pari-Bond
Wenn P=N, dann i=r
Problematik der Reinvestition
Modifizierte Interne Rendite
Effektivzinssatz nach ISMA
Rendite von Fondsinvestments
Zeitgewichtete Rendite (Fondsmanager)
Kapitalgewichtete Rendite (Investor)
Auch BVI-Methode
Die Begrifflichkeit aus 3.2.7 C erlernen! :red_flag: :black_flag:
:!: Regel Σ(t=1);^(T):=Σ: :!:
:pencil2: