Finanz Mathematik 🏁 🏁 🏁

1 Grundlagen 🏁

2 Renten- und Tilgungsrechnung 🏁

3 Kurs. und Renditerechnung 🏁

2.1 Rentenrechnung 🏁

2.2 Tilgungsrechnung 🏁

3.1 Kursrechnung 🏁

3.2 Renditerechnung 🏁

1.2 Zinsrechnung 🏁

1.3 Bewertung von Zahlungsströmen: Barwert 🏁

1.4 Kapitalwert 🏁

1.5 Aufgaben zu Kapitel 1 🏁

1.1 Einführung ✅

Zahlungsstrommodell

Notation 🔥

Z Reihe allen Ein- und Auszahlungen z't

Vor- und Nachschüssige Zahlungen

T Gesamte Zeit

Arten der finanzwirtschaftlichen Vorgängen

Standardbond

Endfällige Tilgung

Kupon

Standartinvestition

Zerobond

Neue Begriffe

Ratenkredit

Endfälliges Darlehen

Nennwert

Verallgemeinerter Zahlungsstrom 🖊

t bestimmter Zeitpunkt

z't Zahlungsstrom zum Zeitpunkt t

Äquidistanz

Tagzählungmethoden A/B

Ein-,Auszahlungstag (¿Zinstage?)

Unterjähriger Erwerb

Aktieninvestment

Thesaurierender Investmentfond

z'(t'i) Zahlungsstrom zum Zeitpunkt t'i zum Teil der nicht äquidistanter Zeitpunkt-reihe

t'i Ein Teil der nicht äquidistanter Zeitpunkt-reihe

Zu pari erwerben

Emittent

Prämisse:Sichere Zahlungen

Planningsperspektive (Ex ante)

Kontrollperspektive (Ex post)

Ausfallrisiko

Desinvestition

Unsicherheit bei ungeplanten Desinvestition

Alles ist schon realisiert

Zinsen

Habenzinsen

Sollzinsen

Prämisse

Fristigkeitsunabhängigkeit

Sollzins=Habenzins

Vollkommener Markt

Nominelle Zinsen

Notationen und Begriffen 🔥

Zinsfuß = p

Zinssatz r = (p/100)

Aufzinsungsfaktor q = (r+1)

Anfängliche Höhe eines Vermögens (Barwert genannt) K'0

Stand des Kapitals am Ende (Endwert genannt) K'T

Basis-Zinsmodell

Zeitmodell (0,1,...,T) (Standardperiode: t= ein Jahr)

Zinssatz r

Zinskapitalisierung (Zinseszins)

Bestimmung des Endwertes 🚩

Allgemein

Periodenübergreifende Aufzeichnung

K'T(r)=K'0*(1+p/100)^T=K'0*(1+r)^T=K'0*q^T

K`T=K'0*q^T

Zinseszinseffekt

Abzinsung- oder Diskontierungsfaktor v = q^(-1)

Verallgemeinertes Zinsmodell

K'T=K'0*(1+r'1)...(1+r'T)

Diskontierung und Abzinsung

K'1

<= K'0*q

K'0

K'1*v =>

K'0=K'T*v'1*...*v'T

Unterjährige geometrische Verzinsung 🚩

Notationen 🔥

Anzahl von unterjährigen Abschnitten M

Der nominelle Jahreszinssatz = u

Formeln

Unterjähriger Zinssatz = u/m

r'm=(1+(u/m))^m-1

K'T=K'0*(1+(u/M))^(m*T)

Oder: =K'0*(q+r'm)^T

Der effektive Jahreszins = r'm

Kontinuierliche Verzinsung 🚩

Formeln

r'm->∞=e^u-1

u'm->∞=ln(1+r) 🚩

n Die gesamte Anzahl von i

i ein Teil von bestimmten nicht äquidistanten Zeitabschnitt

♻

30/365

Echt/360

Echt/echt

Ein unterjähriger Abschnitt m

Taggenaue Zinsberechnung

t=x/X (oder. Tage/Tage im Jahr)

K't(a.k.a. x/X)=K'0*(1+r)^t(a.k.a. x/X)

Zeitproportionale Zinsverrechnung 🚩

Formeln

Convention: Erste Tag gilt, letzte nicht.

Gemischte Verzinsungsformen (Alles zusammen verrechnen und
später addieren)

K'T=K'0*e^(u* t)

K'T=(1+t*u)

Endwert eines Zahlungsstroms

K'T(r) = Σ:z't*q^(T-t)

Barwert eines Zahlungsstromes

K'0(r) = Σ:z't*v^(t)

Verallgemeinertes Zinsmodell

Barwert eines Zahlungsstromes

Endwert eines Zahlungsstroms

K'0(r'1...r'T) = Σ:z't/(1+r'1)*...*(1+r't)

K'T(r'1...r'T) = Σ:z't*(1+r'1)*...*(1+r't)

d.h die Zinsen haben sich während des Jahres verändert, deswegen hat r einen Index, der ist hier net bezeichnet, aber wird als S bezeichnet ❗

Ausrechnung von Bar und Endwerten in s (zB: 0<s<1)

Tag der Auszahlung nicht vergessen!!!1 🚩

Ausrechnung von K'0

Ausrechnung von K's

s=Tage/Tage im Jahr

Äquivalenzprinzip

Wenn K's eines Z =K's anderes Z

Dann sind sie Äquivalent

Eigenschaften äquivalenten Zahlungsströmen

2 Vervielfältigung oder Addition von Z resultiert in Vervielfältigung und Addition für alle K's/t

1 Sie sind für alle s und t gleich

3 Zu unterschiedlichen Zeiten mit r>0 sind sie nie gleich

Notationen 🔥

az't Auszahlung zu einem Bestimmten Zeitpunkt

ez't Einzahlung zu einem Bestimmten Zeitpunkt

z't Formal= ez't-az't

Kapitalwert (Net present value)

K'0(r)=-az'0*v^0+Σ:z't*v^t

❗ Regel Σ(t=1);^(T):=Σ: ❗ ✏

In diesem Fall ist der erste Zahlungsstrom negativ und wird mit dem Index 0 bezeichnet. ❗

Verallgemeinerertes Zahlungmodell

K'0(r)=-az'0+Σ:z'(t'i)*v^(t'i)

Kapitalwertkriterium

Def

Σ:z't*q^(T-t)>az'0

Ez

1.1.1

Anfang mit t=0

1.1.2

Zinssätze verändern sich nicht beim Wechsel von Zahlungsstrommodels

Gerade Dividenden zahlen nicht mit

1.1.4

Vorschüssiger Kredit untermeint, dass die Erste Zinszahlung sofort bei der Empfang der Kredit getilgt werden wuss

1.2.8

Bei der Berechnung der optimalen Entscheidung sollen die Pauschalpreisen auch "Verzinst" werden

1.2.9

u'm=m((1+r)^(1/m)-1)

Durchschnittlicher Jahreszinssatz

Geometrisches Mittel=(x'1*...*x'n)^(1/n)

Für die Zinsen soll man sie in Form von 1.03 schreiben (anstatt 3) 🚩

Teil B vor der Prüfung durchgucken 🏴

1.2.3

Jährlich anfallen heißt am 01.01.2xxx

1.2.4

Kontakttafel beginnt mit 1 Jahr

Anhang

1.3.2

Bei Vermögensberechnung ist der Anfangskapital mitzuzahlen

1.4.1

cp rechnet man die Unterjährigen Zinsen exponentiel:zB 1.04^0.25 für ein vierteljähriges Zins

Tageszählung

(Tag (Datum 2) - Tag (Datum 1)) +(Monat (Datum 2) - Monat (Datum 1))+30 +(Jahr (Datum 2) - Jahr (Datum 1))+365

Rechenregel bei den Potenzen und Logarithmen

ln(ab)=ln(a)+ln(b)

e^a*e^b=e^(a+b)

Ln(a/b)=ln(a)-ln(b)

ln(a^b)=b*ln(a)

Kapitalverdoppelung

Regel 72

Eigenschaften der Logarithmen

Binomische Formeln

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a+b)^3=a^3 + 3a^(2)*b + 3ab^2 + b^3

Zeitrente

Def

Vorschüssig (Pränumerando)

Nachschüssig (Postnumerando)

Stetige Rente

Endwert der Rente

Rentenendwertfaktor REF (s'T)

Nachschüssig

Barwert der Rente

Nachschüssig

REF=(q^T-1)/(r)

Vorschüssig

R*REF*q

R*REF

Endwert der Rente*q^(-T)

Vorschüssig

R*RBF

Barwert der Rente*q^(T)

Oder RBF*q^T

Notationen 🔥

h Steigerungssatz

1+h=c

Unterjährige Rente

r'M=q^(1/12)-1

q^(1/12)-1=r'M Monatszins

Endwert der Rente

Barwert der Rente

R*REF(r'm,T)*q'M

R*RBF(r'm,T)*q'M

Aufgeschobene Rente

Systematische Übersicht: Seite 57-58

Abzinsen zum t=0

Zuerst bestimmen wir den Barwert zum Zeitpunkt T (da wird das neue Zeichen n benutzt)

n Anzahl der Jahren der Rentenzahlung

T zuerst das selbe wie n, danach aber die Anzahl der Jahren der Aufschubzeit

R*RBF(r,n)*q

Barwert*q^(-T)=EB

EB Einmalbetrag (bzw. aufgeschobene Summe für die Finanzierung der Rente)

Dynamische Rente 🚩

REF=((q^T-c^T)/(q-c))

R*RBF*q

Rentenbarwertfaktor RBF

Dynamische Rente 🚩

RBF=((q^T-c^T)/(q-c))*q^-T

Oder REF*q^(-T)

RBF=(1-q^(-T))/(r)

Annuitätentilgung

Äquivalenzprinzip

Notationen 🔥

r vereinbarter Zinssatz

Z't Zinszahlung der Periode

RS't Restschuld am Ende der Periode

T't Tilgung der Periode t

S'0 Kreditbetrag (Anfangsschuld)

A't=T't+Z't Annuität der Periode t

Einsatz 1

KWF=RBF^(-1) Kapitalwiedergewinnungsfaktor

A=S'0*KWF(r,T) 🚩

KWF=(q^T*(q-1))/(q^T-1) (Oder RBF^(-1))

Einsatz 2

S'0=A*RBF(r,T) 🚩

A=S'T*RVF(r,T) 🚩

RVF=(q-1)/(q^T-1)

S'T=A*REF(r,T) 🚩

Barwert Schuld = Barwert Annuität

Endwert Schuld = Endwert Annuität

RVF=REF^(-1) Restwertverteilungsfaktor

Tilgungsplan

Restschuld't=S'0*(q^T-q^t)/(q^T-1) 🚩

Zinszahlung't=S'0*(q^T-q^(t-1))*(q-1)/(q^T-1) 🚩

RS'0=S'0

RS'T=0

Tilgung't=S'0(q^(t-1)*(q-1)/(q^T-1) 🚩

oder =A-Z't

T(Zeit)=(ln(A)-ln(A-S'0*r))/(ln(q)) 🚩

Bei nicht gerade Laufzeit Untermeint eine Vornahme der Sonderzahlung

Die vorschüssige Annuität wird einfach mit q multipliziert (wie bei der Rente) 🏴

Def

Notationen 🔥

Terminologie

Preis zu pari

Fairer Preis=Fairer Kurs = Barwert des Finanztitels (Zahlungsstroms)

Law of one price

Zwei Titel mit identische Preisen haben einen identischen Endwert und vice versa.

i Nominalzinssatz eines Wertpapiers

N Nominalwert des Bonds

g Wachstumsfaktor der Dividenden

Formeln

Preis eines Bonds'0(r)=Z*RBF+Nq^-T

Preis eines Zerobondes (r,T) =N*q^-T

Preis über pari

Preis unter Pari

D't=D*(1+g)^t

r=i

r<i

r>i

Dividendendiskontierungsmodelle

Gordon Growth Model

D Die Höhe der aktuellen Dividende

Preis eines Bonds'0(r)=N*((i/r)+(1-i/r)*q^-T)

v Wert der Aktie

v'0=D'1/(r-g)

Annahme dass der Zins ewig lang gleichleibt

Ersatz von r mit dem von Investoren geforderten Zins

Aufgaben

Aufgabe 3.1.4 🏴 🏴

Achtung 🚩 Manchmal muss man die D nicht multiplizieren

3.1.4 KWF weist auf die höhe der Ausschüttenden Summe auf, die pro eine Einheit eingesetztes Kapital verdient wird 🚩

Einperiodiges Investment

Notationen 🔥

Vermögensbetrag v

Rentabilität r

Formeln

r(Einperiodiges Investment)=(v'1^/v'0)-1

Ln(v'1/v'0) geht auch

r(Mehrperiodiges Investment)=r(0,T)=(v'T-v'0)/(v'0)

Annualisierte r'G=(П(1+r't))^(1/T)-1

r't=(v't-v'(t-1))

Endfälliges mehrperiodiges Investment

Mehrperiodiges Investment mit zwischenzeitlichen Rückflüssen

Zinsfuß, bei dem der K'0=0 r'I

K'0=-az'0+Σz't*q^-t=0

Spot rate

azq^T-Σzq^T-t=0

Das ist für Discriminant etc.

Yield to maturity

Pari-Bond

Wenn P=N, dann i=r

Problematik der Reinvestition

Effektivzinssatz nach ISMA

Modifizierte Interne Rendite

Wiederanlagezissatz r'0

Modifizierte interne Rendite r'B

r'B=(1+r'0)*((1/az'0)Σ(z't(1+r'0)^-t))^T-1

Rendite von Fondsinvestments

Gesamtwert des Fonds zu Beginn v'0

Saldo von az un ez des Fonds in der Zeitperiode t-(t+1) z't

Zeitgewichtete Rendite (Fondsmanager)

П(v't/(v'(t-1)))-1=r'ZGR Gesamt

(П(1+r't))^T-1=r'ZGR Annual

Kapitalgewichtete Rendite (Investor)

Auch BVI-Methode

Die Begrifflichkeit aus 3.2.7 C erlernen! 🚩 🏴