PROPORZIONALITA' E SIMILITUDINE

Un insieme di enti geometrici è una CLASSE DI GRANDEZZE GEOMETRICHE OMOGENEE se è possibile:

  • confrontare due qualsiasi enti della classe, stabilendo se sono uguali oppure se uno è maggiore o minore dell'altro
  • definire un'operazione di addizione che a due qualsiasi enti della classe associ, come loro somma, un terzo ente della classe

TEOREMA DELLA QUARTA PROPORZIONALE: date tre grandezze A, B, C con A e B omogenee tra loro e B non nulla, esiste sempre ed è unica una quarta grandezza D, omogenea a C e tale che: A/B = C/D

CRITERIO DI PROPORZIONALITA' DIRETTA
condizione necessaria e sufficiente affinché le grandezze di due insiemi di corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che

  • a grandezze uguali del primo insieme corrispondano grandezze uguali del secondo
  • alla somma di due o più grandezze del primo insieme corrisponda la somma delle grandezze corrispondenti del secondo

TEOREMA DI TALETE: in un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, i segmenti su una trasversale sono proporzionali ai segmenti corrispondenti sull'altra

Se una retta interseca due lati di un triangolo dividendoli in segmenti in proporzione tra loro, allora è parallela al terzo lato

TEOREMA DELLA BISETTRICE: in un triangolo, la bisettrice di un angolo divide il lato opposto in segmenti proporzionali agli altri due lati

Se una retta parallela a un lato di un triangolo interseca gli altri due lati, essi vengono divisi in segmenti in proporzione tra loro

SIMILITUDINE DI TRIANGOLI

SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA: due triangoli sono simili se hanno due lati ordinatamente in proporzione e l'angolo compreso fra i due lati congruente

TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA: due triangoli sono simili se hanno i tre lati ordinatamente in proporzione

PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA: due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti

consecutivamente:

In triangoli simili, le basi sono proporzionali alle rispettive altezze

In triangoli simili, i perimetri sono proporzionali a due lati omologhi

In due triangoli simili con rapporto di similitudine k, il rapporto tra le aree è k^2

TEOREMI DI EUCLIDE

PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE: in un triangolo rettangolo, un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa

SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE: in un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa

POLIGONI SIMILI: due poligoni con lo stesso numero di lati sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati corrispondenti in proporzione

TEOREMA DELLE CORDE: in una circonferenza, se due corde si intersecano, i segmenti formati su una sono gli estremi e quelli formati sull'altra sono i medi di una proporzione
TEOREMA DELLE SECANTI: considerando per una circonferenza due secanti, i segmenti di una sono gli estremi, quelli dell'altra sono i medi di una proporzione
TEOREMA DELLA SECANTE E DELLA TANGENTE: considerando una secante e una tangente in una circonferenza, il segmento di tangente è medio proporzionale fra i segmenti che hanno un stremo nel punto esterno e l'altro in uno dei punti di intersezione della secante