unidad 1 Algebra Lineal

Matrices

Definicion

una matriz es un arreglo bidimensional de números. Se representa por una letra minuscula donde el primero es la fila y el segundo es la columna

componentes

operaciones

tipos

tamaño

se denotan m*n, así para referirnos a el elemento concreto de A que se halla en la fila i, y columna j, pondremos: A(i, j)

Suma y resta

para sumar matrices tienen que tener las mismas dimensiones

es conmutativa y asociativa

se suma o resta el elemento X que este en la posicion n con el mismo elemento que este en la misma posicion n del otro vector

Multiplicacion

por escalar

todos los elementos de la matriz se multiplican por el numero escalar y quedan en la misma posicion original

Multiplicacion y division

Normalmente se toman los elementos y se multiplican a manera que el primer elemento del vector multiplicado debe ser la multiplicacion de los 2 primeros elementos de los otros vectores y con esta dinamica todos los elementos, por ejemplo en una matriz 2x2 el elemento 3(1,1) se debe multiplicar por 5(1,1) y en la nueva matriz el elemento 1,1 es 15

fila

columna

rectangular

traspuesta

nula

cuadrada

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

La matriz columna tiene una sola columna

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros

diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos

escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales

identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.


regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa

singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

idempotente

una matriz, A, es idempotente si: A^2 = A.

involutiva

Una matriz, A, es involutiva si: A^2 = I.

simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = A^t

antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = −A^t.

ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que: A · A^t = I.

siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después

Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y las mismas entradas. Otra definición, muy usada en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, es la de vectores fila y vectores columna.

Rango de una matriz

Numero de filas o columas que son linealmente independientes, ninguna de ellas se puede expresar en combinacion lineal de las demas

Determinante de una matriz

denotaremos por det(A) y cuyo valor es la suma de todos los productos elementales con signo que se pueden formar en la matriz A.

Matriz inversa


La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es la matriz cuadrada A -1 también de orden n que verifica: A . A^(-1) = A-1 . A = I donde I es la matriz identidad de orden n.

Matrices especiales

Matriz (estrictamente) diagonalmente dominante por filas o columnas

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Matriz Hessenberg

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