unidad 1 Algebra Lineal
Matrices
Definicion
una matriz es un arreglo bidimensional de números. Se representa por una letra minuscula donde el primero es la fila y el segundo es la columna
componentes
operaciones
tipos
tamaño
se denotan m*n, así para referirnos a el elemento concreto de A que se halla en la fila i, y columna j, pondremos: A(i, j)
Suma y resta
para sumar matrices tienen que tener las mismas dimensiones
es conmutativa y asociativa
se suma o resta el elemento X que este en la posicion n con el mismo elemento que este en la misma posicion n del otro vector
Multiplicacion
por escalar
todos los elementos de la matriz se multiplican por el numero escalar y quedan en la misma posicion original
Multiplicacion y division
Normalmente se toman los elementos y se multiplican a manera que el primer elemento del vector multiplicado debe ser la multiplicacion de los 2 primeros elementos de los otros vectores y con esta dinamica todos los elementos, por ejemplo en una matriz 2x2 el elemento 3(1,1) se debe multiplicar por 5(1,1) y en la nueva matriz el elemento 1,1 es 15
fila
columna
rectangular
traspuesta
nula
cuadrada
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
La matriz columna tiene una sola columna
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros
diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos
escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales
identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa
singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
idempotente
una matriz, A, es idempotente si: A^2 = A.
involutiva
Una matriz, A, es involutiva si: A^2 = I.
simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = A^t
antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = −A^t.
ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que: A · A^t = I.
siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después
Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y las mismas entradas. Otra definición, muy usada en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, es la de vectores fila y vectores columna.
Rango de una matriz
Numero de filas o columas que son linealmente independientes, ninguna de ellas se puede expresar en combinacion lineal de las demas
Determinante de una matriz
denotaremos por det(A) y cuyo valor es la suma de todos los productos elementales con signo que se pueden formar en la matriz A.
Matriz inversa
La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es la matriz cuadrada A -1 también de orden n que verifica: A . A^(-1) = A-1 . A = I donde I es la matriz identidad de orden n.
Matrices especiales
Matriz (estrictamente) diagonalmente dominante por filas o columnas
Matriz Hessenberg