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Suites numériques (Suites géométriques (Propriété (formule explicite) :
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Suites numériques
Suites géométriques
Propriété (formule explicite) :
Si \((v_n)_{n\geqslant 0}\) est une suite géométrique de raison \(\boldsymbol{q\neq 0}\), alors pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[\boxed{\boldsymbol{v_n=v_0\times q^n}}\]
Propriété (formule explicite généralisée) :
Si \((v_n)_{n\geqslant 0}\) est une suite géométrique de raison \(\boldsymbol{q\neq 0}\), alors pour tous \(n\,\text{et}\,p\in\mathbb{N}\), \[\boxed{\boldsymbol{v_n=v_p\times q^{\overbrace{n-p}^{\llap{\text{écart entre }} \rlap{\text{les rangs }}}}}\;\;\;\;}\] en particulier : \[\boxed{\boldsymbol{v_n=v_1\times q^{n-1}}\;\;\;\;}\]
Sens de variation :
\[\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline & 0<q<1& q=1& q>1\\\hline
v_0<0&\text{croissante}&\text{constante}&\text{décroissante}\\\hline v_0>0&\text{décroissante}&\text{constante}&\text{croissante}\\\hline\end{array}\]
Comportement asymptotique (limites) : \[\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline \lim_{n\to+\infty}v_n=\ldots& 0<q<1& q=1& q>1\\\hline v_0<0 &
0& v_0&-\infty\\\hline v_0>0&0&v_0&+\infty\\\hline\end{array}\]
Définition (formule de récurrence) :
dire qu'une suite \((v_n)_{n\geqslant 0}\) est géométrique de raison \(\boldsymbol{q}\) signifie que pour tout nombre entier naturel \(n\), \[\boldsymbol{v_{n+1}=q\times v_n}\]
Somme de termes \(\text{premier terme}\times \dfrac{1-\text{raison}^{\text{nbre de termes}}}{1-\text{raison}}\)
Suites arithmétiques :
Définition (formule de récurrence) :
dire qu'une suite \((u_n)_{n\geqslant 0}\) est arithmétique de raison \(\boldsymbol{r}\) signifie que pour tout nombre entier naturel \(n\), \[\boldsymbol{u_{n+1}=u_n+r}\]
Propriété (formule explicite) :
Si \((u_n)_{n\geqslant 0}\) est une suite arithmétique de raison \(\boldsymbol{r}\), alors pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[\boxed{\boldsymbol{u_n=u_0+nr}}\]
Propriété (formule explicite généralisée) :
Si \((u_n)_{n\geqslant 0}\) est une suite arithmétique de raison \(\boldsymbol{r}\), alors pour tous \(n\,\text{et}\,p\in\mathbb{N}\), \[\boxed{\boldsymbol{u_n=u_p+\underbrace{(n-p)}_{\llap{\text{écart entre }} \rlap{\text{les rangs}}}\times r}}\] en particulier \[\boxed{\boldsymbol{u_n=u_1+(n-1)r}}\]
Sens de variation :
- croissante si \(r>0\)
- constante si \(r=0\)
- décroissante si \(r<0\)
Somme de termes \(\dfrac{(\text{premier terme}+\text{dernier terme})\times \text{nbre de termes}}{2} \)
Comment ?
Plan d'étude d'une suite arithmético-géométrique \((u_n)\) :
- l'énoncé introduit une suite auxiliaire \((v_n)\) de la forme \(v_n=u_n-\alpha\)
- il est ensuite demandé de montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(a\)
- on obtient le terme général de \(v_n\) puis celui de \(u_n\) en transposant la relation entre \(u_n\) et \(v_n\)
- on peut ensuite connaitre le sens de variation et le comportement asymptotique de \((u_n)\) à partir de celui de \((v_n)\)
Une suite numérique est une liste de nombres. Chaque nombre (appelé terme) est repéré par son rang d'apparition dans la liste et se note \(\boldsymbol{u_n}\). Une suite est notée \(\boldsymbol{(u_n)}\) ou simplement \(\boldsymbol{u}\). Comme \(u\,:\,n\,\longmapsto u_n\), on peut aussi considérer qu'une suite est une fonction de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R}\).
Les suites modélisent des phénomènes périodiques liés à une évolution dans le temps. Leur étude permet de prévoir des résultats :
- en économie : placement(s), évolution de marchés
- en démographie : évolution de population
- en médecine : évolution d'une épidémie
- ....
Définition :
Une suite \((u_n)_{n\geqslant 0})\) est arithmético-géométrique s'il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que pour tout entier naturel \(n\) : \[\boldsymbol{u_{n+1}=a\times u_n+b}\]
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