Équation à une inconnue balance

Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle figure une inconnue, désignée par une lettre ( $x,\,y,\,z,\,t\ldots$ )

Tester une égalité c'est :

remplacer la lettre par une valeur numérique
calculer séparément le membre de gauche et le membre de droite
si ces deux calculs sont égaux, le nombre choisi est une solution de l'équation

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs possibles de l'inconnue telles que l'égalité soit vraie : chacune de ces valeurs est appelée une solution de l'équation et on note $\mathscr{S}=\left\lbrace\ldots\right\rbrace$

Résoudre une équation de type produit (second degré)

Résoudre une équation de type somme (premier degré)

Isoler l'inconnue pour avoir $x=\ldots$

Règles de calcul littéral

Développer et réduire en utilisant la distributivité :

$\color{red}{k}\times (a+b)=\color{red}{k}\times a+\color{red}{k}\times b$
$\color{red}{k}\times (a-b)=\color{red}{k}\times a-\color{red}{k}\times b$

Règles de transposition

Si on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres d'une équation, on obtient une équation équivalente (ayant le même ensemble de solutions).
Si on multiplie ou on divise les deux membres d'une équation par un même nombre non nul, on obtient une équation équivalente.

⚠ Une équation peut avoir :

une solution : $7x+11=5x+8\;:\;\mathscr{S}=\left\lbrace -1{,}5\right\rbrace$
deux solutions : $x^2=7\;:\;\mathscr{S}=\left\lbrace -\sqrt{7}\,;\,\sqrt{7}\right\rbrace$
Mais aussi :
aucune solution : $7x-11=7x\;:\;\mathscr{S}=\emptyset$
une infinité de solutions : $2x+7=2(x+1)+5\;:\; \mathscr{S}=\mathbb{R}$

Se ramener au premier degré en factorisant : facteur commun ou identités remarquables

Équation produit nul :$(ax+b)(cx+d)=0$

Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul :
$(ax+b)(cx+d)=0\Leftrightarrow ax+b=0\;\text{ou}\; cx+d=0$

On résout $ax+b=0$
On résout $cx+d=0$
On regroupe les solutions obtenues

Équation carrée
$x^2=a$

Si $a<0$, l'équation n'a pas de solution $\mathscr{S}=\emptyset$
Si $a=0$, l'équation admet une seule solution $0$ : $\mathscr{S}=\left\lbrace 0\right\rbrace$
Si $a>0$, l'équation admet deux solutions distinctes $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$ : $\mathscr{S}=\left\lbrace -\sqrt{a}\,;\,\sqrt{a}\right\rbrace$

Une équation permet de résoudre des problèmes numériques à l'aide d'une mise en équation :

Désignation de l'inconnue
Mise équation du problème
Résolution de l'équation
Conclusion et réponse au problème

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$