Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
ตรรกะศาสตร์ (2.การสมมูลกันของประพจน์ ประพจน์ p และ q จะถือว่า…
ตรรกะศาสตร์
2.การสมมูลกันของประพจน์
ประพจน์ p และ q จะถือว่า “สมมูลกันทางตรรกศาสตร์ (Logically
equivalent)” ถ้า p ↔ q เป็นสัจนิรันดร์
Identity laws
Domination laws
Idempotent laws
Double Negation law
Commutative laws
Associative laws
Distributive laws
De Morgan's laws
Absorption laws
Negation laws
ตัวบ่งปริมาณ
นอกจากการใช้ภาคแสดงในการสร้างประพจน์จากฟังก์ชันประพจน์แล้ว ยังสามารถใช้ตัวบ่งปริมาณในการสร้างประพจน์ได้เช่นกัน
ตัวบ่งปริมาณแบ่งตามนิยามออกเป็น 2 ชนิด คือ
Universal Quantifier (∀)
Universal quantification ของ P(x) ซึ่งเขียนเป็นสัญลักษณ์คือ ∀xP(x)หมายถึง ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงสําหรับทุกๆ ค่าของ x ในโดเมนที่กําหนด
เป็นจริงเมื่อ P(x) เป็นจริงสําหรับทุกๆ ค่าของ x
เป็นเท็จเมื่อมี x ค่าหนึ่งที่ทําให้ P(x) เป็นเท็จ
Existential Quantifier (∃)
Existential quantification ของ P(x) ซึ่งเขียนเป็นสัญลักษณ์คือ ∃xP(x)
หมายถึง ประพจน์ที่มี x ตัวใดตัวหนึ่งในโดเมนที่ทําให้ P(x) มีค่าความจริงเป็นจริง
เป็นจริงเมื่อมี x ค่าหนึ่งที่ทําให้ P(x) เป็นจริง
เป็นเท็จเมื่อ P(x) เป็นเท็จสําหรับทุกๆ ค่าของ x
ตัวบ่งปริมาณที่มีนิเสธ
เรามักจะสนใจตัวบ่งปริมาณที่มีนิเสธอยู่
“นักเรียนทุกคนในชั้น
เรียนลงทะเบียนเรียนวิชาแคลคูลัส”
นิเสธของประโยคนี้คือ “มีนักเรียนบางคนในชั้นเรียนนี้ไม่ได้ลงทะเบียนเรียนวิชา
แคลคูลัส” ซึ่งเขียนได้เป็น ∃x¬P(x)
∀xP(x) โดยที่ P(x) คือ ประโยคที่ว่า “x ลงทะเบียนเรียนวิชาแคลคูลัส” และ x
แทน นักเรียน
การแปลประโยคเป็นประโยคตรรกศาสตร์
ประโยคบางประโยคอาจมีความสับสน ดังนั้นเพื่อให้สามารถวิเคราะห์ค่าความจริงได้จึงควรแปลประโยคดังกล่าวเป็นประโยคตรรกศาสตร์
ตัวบ่งปริมาณแบบซ้อน
ตัวบ่งปริมาณแบบซ้อน (Nested quantifier) คือ การใช้งานตัวบ่งปริมาณ
ซ้อนกันตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป
1. ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์
:check: “ตัวดําเนินการทางตรรกศาสตร์
(Logical operators)หรือ ตัวเชื่อมต่อทางตรรกศาสตร์(Logicalconnectives)”
ให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ ประพจน์ “p และ q” ซึ่งเขียนแทนด้วย p ∧ q
เงื่อนไข คือ
เป็นจริงเมื่อ p และ q เป็นจริงทั้งคู่
นอกจากนี้จะเป็นเท็จ
ให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ ประพจน์ “p หรือ q” ซึ่งเขียนแทนด้วย “p ∨ q”
เป็นเท็จเมื่อ p และ q เป็นเท็จทั้งคู่
นอกจากนี้จะเป็นจริง
ให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ การอนุมาน (Implication) ซึ่งเขียนแทนด้วย “p → q”
เป็นเท็จเมื่อ p เป็นจริงและ q เป็นเท็จ
นอกจากนี้จะเป็นจริง
Converse (บทกลับ)
Converse ของ p → qคือ q → p
Contrapositive (บทแย้ง)
Contrapositive ของ p → q คือ ¬q → ¬p
Inverse (บทผกผัน)
Inverse ของ p → q คือ ¬p → ¬q
ให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ เงื่อนไข 2 ทิศทาง (Bidirectional) ซึ่งเขียนแทนด้ว p ↔ q
เป็นจริงเมื่อ p และ q มีค่าเหมือนกัน
นอกจากนี้จะเป็นเท็จ
เงื่อนไข 2 ทิศทางจะเป็นจริงเมื่อการอนุมาน p → q และ q → p เป็นจริง
p if and only if q หมายถึง p ก็ต่อเมื่อ q เท่านั้น
(p → q) ∧ (q → p)
:check: ในทางตรรกศาสตร์นิยมใช้ตัวอักษร p, q, r, . . . แทนตัวแปรประพจน์(Propositional variables)
นิเสธ P
ให้ p เป็นประพจน์ใดๆ “ในกรณีที่ไม่ใช่ p”
ถือเป็นประพจน์ที่เรียกว่า นิเสธของ p (negation of p)
คือ ¬p และอ่านว่า “not p”
ภาคแสดง
พิจารณาประโยคต่อไปนี้ “x > 3”
จะเห็นว่าประโยคดังกล่าวไม่เป็นประพจน์เพราะไม่สามารถบอกได้ว่ามีค่าความจริงเป็นเช่นไร
ประโยคดังกล่าวสามารถแบ่งออกได้เป็น 2 ส่วน
x คือ ตัวแปร
3 คือ ภาคแสดง
ปริศนาตรรกศาสตร์
ปริศนาตรรกศาสตร์ (Logic Puzzles) คือ ปริศนาที่สามารถแก้ได้ด้วยหลักเหตุผลทางตรรกศาสตร์
ปริศนาตรรกศาสตร์เป็นวิธีการที่ดีในการฝึกใช้กฎของตรรกศาสตร์
เทคนิคการพิสูจน์
ทําไมเราต้องเรียนเทคนิคในการพิสูจน์?
ในการเรียนคณิตศาสตร์มีปัญหาที่สําคัญเกิดขึ้น 2 ข้อคือ
เราจะรู้ได้อย่างไรว่า Mathematical Statement นั้นๆ ถูกต้อง?
มีวิธีการอะไรที่สามารถใช้ในการสร้าง Mathematical Statement?
กฎการวินิจฉัย (Rules of Inference)
ใช้เพื่ออธิบายขั้นตอนต่างๆ ในการตัดสินหาข้อสรุป(Conclusion) ของ
ถ้อยแถลงตรรกศาสตร์จากเซตของสมมติฐาน (Hypotheses)
วิธีการพิสูจน์ทฤษฎีที่เป็นการอนุมาน
การให้สมมติฐานเป็นจริงเพื่อพิจารณาว่าผลสรุปที่ได้เป็นจริงหรือไม่
การพิสูจน์โดยตรง (Direct proof)
การพิสูจน์โดยอ้อม (Indirect proof)
การพิสูจน์แบบว่างเปล่า (Vacuous Proof)
การพิสูจน์เพียงเล็กน้อย (Trivial Proof)
การพิสูจน์โดยใช้สิ่งที่แตกต่าง (Proof by Contradiction)
การเหนี่ยวนําเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction)
การเหนี่ยวนําเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction)
ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีต่างๆ โดยใช้ลักษณะของการเหนี่ยวนําที่ทําให้เกิดผลต่อ
เนื่องกันไป
ประพจน์ (Propositions)
ประโยคหรือข้อความที่เป็นคํายืนยันหรือประกาศ(Declarative sentence) ซึ่งมีค่าความจริงเป็น
มีเงื่อนไข คือ จริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
