ตรรกะศาสตร์
1. ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์
2.การสมมูลกันของประพจน์
ประพจน์ p และ q จะถือว่า “สมมูลกันทางตรรกศาสตร์ (Logically
equivalent)” ถ้า p ↔ q เป็นสัจนิรันดร์
Identity laws 
Domination laws
- ตัวบ่งปริมาณ
นอกจากการใช้ภาคแสดงในการสร้างประพจน์จากฟังก์ชันประพจน์แล้ว ยังสามารถใช้ตัวบ่งปริมาณในการสร้างประพจน์ได้เช่นกัน
Idempotent laws
Double Negation law
Commutative laws 
Associative laws 
Distributive laws
De Morgan's laws
Absorption laws 
Negation laws 
ตัวบ่งปริมาณแบ่งตามนิยามออกเป็น 2 ชนิด คือ
Universal Quantifier (∀)
Universal quantification ของ P(x) ซึ่งเขียนเป็นสัญลักษณ์คือ ∀xP(x)หมายถึง ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงสําหรับทุกๆ ค่าของ x ในโดเมนที่กําหนด
Existential Quantifier (∃)
Existential quantification ของ P(x) ซึ่งเขียนเป็นสัญลักษณ์คือ ∃xP(x)
หมายถึง ประพจน์ที่มี x ตัวใดตัวหนึ่งในโดเมนที่ทําให้ P(x) มีค่าความจริงเป็นจริง
เป็นจริงเมื่อ P(x) เป็นจริงสําหรับทุกๆ ค่าของ x
เป็นเท็จเมื่อมี x ค่าหนึ่งที่ทําให้ P(x) เป็นเท็จ
ประพจน์ (Propositions)
- ประโยคหรือข้อความที่เป็นคํายืนยันหรือประกาศ(Declarative sentence) ซึ่งมีค่าความจริงเป็น
- มีเงื่อนไข คือ จริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
เป็นจริงเมื่อมี x ค่าหนึ่งที่ทําให้ P(x) เป็นจริง
เป็นเท็จเมื่อ P(x) เป็นเท็จสําหรับทุกๆ ค่าของ x
ตัวบ่งปริมาณที่มีนิเสธ
เรามักจะสนใจตัวบ่งปริมาณที่มีนิเสธอยู่
✅ “ตัวดําเนินการทางตรรกศาสตร์
(Logical operators)หรือ ตัวเชื่อมต่อทางตรรกศาสตร์(Logicalconnectives)”
ให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ ประพจน์ “p และ q” ซึ่งเขียนแทนด้วย p ∧ q
เงื่อนไข คือ
- เป็นจริงเมื่อ p และ q เป็นจริงทั้งคู่
- นอกจากนี้จะเป็นเท็จ
“นักเรียนทุกคนในชั้น
เรียนลงทะเบียนเรียนวิชาแคลคูลัส”
นิเสธของประโยคนี้คือ “มีนักเรียนบางคนในชั้นเรียนนี้ไม่ได้ลงทะเบียนเรียนวิชา
แคลคูลัส” ซึ่งเขียนได้เป็น ∃x¬P(x)
∀xP(x) โดยที่ P(x) คือ ประโยคที่ว่า “x ลงทะเบียนเรียนวิชาแคลคูลัส” และ x
แทน นักเรียน
การแปลประโยคเป็นประโยคตรรกศาสตร์
ประโยคบางประโยคอาจมีความสับสน ดังนั้นเพื่อให้สามารถวิเคราะห์ค่าความจริงได้จึงควรแปลประโยคดังกล่าวเป็นประโยคตรรกศาสตร์
ให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ ประพจน์ “p หรือ q” ซึ่งเขียนแทนด้วย “p ∨ q”
- เป็นเท็จเมื่อ p และ q เป็นเท็จทั้งคู่
- นอกจากนี้จะเป็นจริง
ให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ การอนุมาน (Implication) ซึ่งเขียนแทนด้วย “p → q”
- เป็นเท็จเมื่อ p เป็นจริงและ q เป็นเท็จ
- นอกจากนี้จะเป็นจริง
Converse (บทกลับ)
Converse ของ p → qคือ q → p
Contrapositive (บทแย้ง)
Contrapositive ของ p → q คือ ¬q → ¬p
Inverse (บทผกผัน)
Inverse ของ p → q คือ ¬p → ¬q
✅ ในทางตรรกศาสตร์นิยมใช้ตัวอักษร p, q, r, . . . แทนตัวแปรประพจน์(Propositional variables)
นิเสธ P
- ให้ p เป็นประพจน์ใดๆ “ในกรณีที่ไม่ใช่ p”
- ถือเป็นประพจน์ที่เรียกว่า นิเสธของ p (negation of p)
- คือ ¬p และอ่านว่า “not p”
ให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ เงื่อนไข 2 ทิศทาง (Bidirectional) ซึ่งเขียนแทนด้ว p ↔ q
- เป็นจริงเมื่อ p และ q มีค่าเหมือนกัน
- นอกจากนี้จะเป็นเท็จ
เงื่อนไข 2 ทิศทางจะเป็นจริงเมื่อการอนุมาน p → q และ q → p เป็นจริง
- p if and only if q หมายถึง p ก็ต่อเมื่อ q เท่านั้น
- (p → q) ∧ (q → p)
ตัวบ่งปริมาณแบบซ้อน
ตัวบ่งปริมาณแบบซ้อน (Nested quantifier) คือ การใช้งานตัวบ่งปริมาณ
ซ้อนกันตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป
ปริศนาตรรกศาสตร์
ปริศนาตรรกศาสตร์ (Logic Puzzles) คือ ปริศนาที่สามารถแก้ได้ด้วยหลักเหตุผลทางตรรกศาสตร์
ปริศนาตรรกศาสตร์เป็นวิธีการที่ดีในการฝึกใช้กฎของตรรกศาสตร์
- เทคนิคการพิสูจน์
ทําไมเราต้องเรียนเทคนิคในการพิสูจน์?
ในการเรียนคณิตศาสตร์มีปัญหาที่สําคัญเกิดขึ้น 2 ข้อคือ
กฎการวินิจฉัย (Rules of Inference)
ใช้เพื่ออธิบายขั้นตอนต่างๆ ในการตัดสินหาข้อสรุป(Conclusion) ของ
ถ้อยแถลงตรรกศาสตร์จากเซตของสมมติฐาน (Hypotheses)
วิธีการพิสูจน์ทฤษฎีที่เป็นการอนุมาน
การให้สมมติฐานเป็นจริงเพื่อพิจารณาว่าผลสรุปที่ได้เป็นจริงหรือไม่
การเหนี่ยวนําเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction)
ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีต่างๆ โดยใช้ลักษณะของการเหนี่ยวนําที่ทําให้เกิดผลต่อ
เนื่องกันไป
เราจะรู้ได้อย่างไรว่า Mathematical Statement นั้นๆ ถูกต้อง?
มีวิธีการอะไรที่สามารถใช้ในการสร้าง Mathematical Statement?
การพิสูจน์โดยตรง (Direct proof)
การพิสูจน์โดยอ้อม (Indirect proof)
การพิสูจน์แบบว่างเปล่า (Vacuous Proof)
การพิสูจน์เพียงเล็กน้อย (Trivial Proof)
การพิสูจน์โดยใช้สิ่งที่แตกต่าง (Proof by Contradiction)
การเหนี่ยวนําเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction)
ภาคแสดง
พิจารณาประโยคต่อไปนี้ “x > 3”
จะเห็นว่าประโยคดังกล่าวไม่เป็นประพจน์เพราะไม่สามารถบอกได้ว่ามีค่าความจริงเป็นเช่นไร
ประโยคดังกล่าวสามารถแบ่งออกได้เป็น 2 ส่วน
x คือ ตัวแปร
3 คือ ภาคแสดง