Polinômios
Equações polinomiais são as do tipo:
ak são os coeficientes
akX^k são os termos
Monômio
Função polinominal de um único termo
Raiz
Se f(X) = 0
Então X é uma raiz ou um zero de f
Igualdade
Nulo
Um polinômio nulo é aquele em que f(x)=0 para todo X pertencente aos complexos
Um polinômio só é nulo se todos os seus coeficientes forem nulos
Dois polinômios são idênticos quando assumem
valores númericos iguais para todo x complexo
Isto somente ocorre quando seus coeficientes são
ordenadamente iguais
Operações
Adição
Subtração
f - g = f + (-g)
Transformações
Equações
Raízes
Multiplicação
Distributiva ou com cada coeficiente obtido:
Ou tabela de coeficientes soma diagonal /////
Grau
Índice do "último" termo não nulo de f
Se o grau do polinômio f é n,
então an é chamado coeficientes dominante
Se o coeficiente dominante for 1 ,
f é chamado polinômio unitário
Do produto
Se f e g são dois polinômios não nulos então,
então o grau de fg é igual a soma dos graus de f e g
Divisão
Dividir é determinar dois polinômios q e r de modo que:
f(dividendo), g(divisor), r(resto), q(quociente)
Imediata
F é polinômio nulo então q=0 e r=0
F tem grau menor que o de g então q=0 r=f
Método Decartes
Método da Chave
x-a
Algoritmo
de Ruffini
Facilita-se encontrar q e r quando o divisor é do tipo X-a
Binômios 1º Grau
1º divide-se f por (x-a)/b
2º Divide-se o quociente q' encontrado por b
O resultado é q, o resto é o resto
O resto da divisão de um polinômio
f com grau >=1 por x-a é igual a f(a).
f só é divisível por x-a se 'a' é raiz de f.
Se f é divisível separadamente por x-a e x-b
então f é divisível pelo produto (x-a)(x-b)
Dados dois polinômios f(x) e g(x) chama-se equação polinomial a sentença aberta f(x) = g(x)
Conjunto Solução
O conjunto S cujos elementos são
as raízes complexas da equação.
Resolver uma equação é obter o
seu conjunto solução
Equivalentes
Duas equações polinomiais são iguais
quando o conjunto solução de uma é
também o da outra
Transformações
equivalentes
1º Transpor um termo de um membro para outro,
trocando o sinal do seu coeficiente, não altera o
conjunto solução
2º Multiplicar os dois membros pelo mesmo número
P(x) = 0
Toda equação polinomial pode ser redutível a essa forma
Se P(x) é nulo então S = C
Se P(x) é constante e não nula então a
equação é uma sentença falsa para todo x
Número de raízes
Diremos que P(x)=0 é de grau n, se, e só se,
P(x) e P são de grau n, e toda euqação polinomial admite n, e somente n raízes complexas
Teorema da
decomposição
Todo polinômio P de grau n>=1 pode ser
decomposto em n fatores do primeiro grau
An é o coeficiente dominante em P
r1, r2, r3... r n são as raízes da equação
Teorema
Fundamental
da Álgebra
Todo polinômio P de grau n>=1
admite ao menos uma raiz complexa
Multiplicidade de
uma Raiz
r é raiz de multiplicidade m se:
m = 1; raiz simples
m = 2; raiz dupla
m = 3; raiz tripla
Relações de Girard
Soma
Produto
A soma de todas as raízes
de P se dá por:
Sempre -b/a
O produto entre todas
as raízes de P é:
Reais
Complexas
Racionais
Conjugadas
Se uma equação polinomial de coeficientes
reais admite como raiz o número complexo Z,
então ela também admite o conjugado de Z
Multiplicidade
Se uma equação polinomial de coeficientes
reais admite como raiz o número complexo Z
com multiciplidade p, então ela tambem admite
o conjugado de com multiplicidade p
Como em uma equação polinomial de
coeficientes reais o número de raízes
complexas não reais são sempre pares,
se o grau for ímpar então ela admite um
número ímpar de raízes reais
Teorema de Bolzano
Podemos saber se em um intervalo ]a, b[
de uma equação P(x) = 0 existem:
1º Um número par ou nenhuma raiz real
Se P(a)P(b) > 0
ou
2º Um número ímpar de raízes reais
Se P(a)P(b) < 0
Se uma equação polinomial de coeficientes
INTEIROS admite raízes reais p/q então
p é divisor de a0 e q é divisor de an
Se an = 1, admite uma raiz racional p/q
então ela é necessariamente inteira pois q=1
Transformação de uma equação algébrica P1(x)=0 é toda operação com a qual se obtém outra equação P2(y)=0, cujas raízes estejam relacionadas com as raízes da equação inicial através de uma relação conhecida y=f(x)
Equação Primitiva
P1(x)=0
Equação Transformada
P2(y)=0
Relação de
Transformação
y=f(x)
Multiplicativa
Aditiva
Aditiva e divisão
Recíproca
Aquela em que a relação de transformação é:
y = kx
Aquela em que a relação de transformação é:
y = x+a
Que é facilitado pelo dispositivo de Horner-Ruffini
P1(x) e P2(x+a) são funções idênticas
Aquela em que a relação de transformação é:
y = 1/x, x diferente de 0
Para se obter a equação recíproca basta inverter a ordem dos coeficientes e trocar x por y
Se uma equação P(x) é equivalente à sua transformada recíproca P(1/x)=0 então ela é chamada equação recíproca
Então na forma fatorada as raízes são opostas com mesmo m
Na forma de polinômio, ela possui coeficientes equidistantes dos extremos iguais dois a dois(1ª espécie),
ou opostos dois a dois(2ª espécie)
Dada uma equação recíproca se A é uma raiz com multiplicidade m, então 1/A também é raiz com a mesma multiplicidade
Se uma equação é recíproca de 2ª espécie então uma de suas raízes é 1, e se for dividida por (x-1) recai em uma equação recíproca de 1ª espécie com grau ímpar ou par diferente.
Se uma equação é recíproca de 1ª espécie e grau ímpar então uma de suas raízes é 1, e se for dividida por (x+1), recai em uma equação de 1ª espécie e grau par
Múltiplas
Comuns
Se r é raiz de multiciplidade m de f(x)=0 então r é de multiciplidade m-1 da equação f'(x) =0, em que f'(x) é a derivada-primeira de f(x).
Se r é raiz das equações f(x)=0, f'(x)=0, f''(x)=0, ..., f^(m-1)(x)=0 e não é raiz de f^m(x)=0, então a multiciplidade de r em f(x)=0 é m
Se 'a' é uma raiz dos polinômios f e g, então 'a' é uma raiz de r, resto da divisão de f por g.
Se 'a' é uma raiz dos polinômios g e r, então 'a' é uma raiz de f.
Se 'a' é uma raiz dos polinômios f e g, então é raiz de mdc (f, g).
Se 'a' é uma raiz do mdc (f, g), então 'a' é raiz de f e de g.
MMC
mmc de dois polinômios f e g, não nulos, já decompostos em fatores, é o polinômio unitário produto dos fatores comuns e não comuns a f e g, tomando cada fator com o maior dos expoentes com que aparece f e g.
MDC
Método das divisões sucessivas