Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

Предел и непрерывность функций (часть 1) (Предел функции по множеству…

- - - - Пусть X ⊂ R. Точка x0 (которая может принадлежать, а может и не принадлежать множеству X), для которой существует последовательность {xn} элементов множества X (т.е. (∀ n ∈ N) xn ∈ X), имеющая своим пределом точку x0 (т.е. lim xn = x0 (n ⟶∞)), называется точкой прикосновения множества X. Если точка прикосновения x0 множества X является одной из бесконечностей (∞; +∞; -∞), то она называется бесконечно удаленной точкой прикосновения. Очевидно, что если x0 = ∞ - бесконечно удаленная точка прикосновения множества X, то оно не ограничено, если x0 = +∞ (-∞) – бесконечно удаленная точка прикосновения множества X, то оно не ограничено сверху (снизу) (легко доказывается методом от противного). Очевидно, что любая точка x0 ∈ X является его точкой прикосновения, т.к. стационарная последовательность xn = x0 (∀ n ∈ N) удовлетворяет условиям определения точки прикосновения: (∀ n ∈ N) xn ∈ X ⋀ lim xn = x0 (n ⟶∞). Но безусловно, у множеств могут существовать и конечные точки прикосновения, не принадлежащие этим множествам. Так, например, точки a и b являются точками прикосновения интервала (a, b) и не содержатся в нем.
    - - Если точка x0 является точкой прикосновения множества X и X ⊂ Y ⊂ R, то точка x0 является и точкой прикосновения множества Y.
        Доказательство: каждый элемент X является элементом Y. Раз существует последовательность элементов X, стремящаяся к x0, значит, эта же последовательность является последовательностью элементов Y, стремящаяся к x0 ⟹ x0 – точка прикосновения Y.
    - - Некоторая точка является точкой прикосновения данного множества тогда и только тогда, когда любая ее окрестность пересекается с этим множеством.
        Докажем в обе стороны:
        
        x0 - ТП ⟹ (∀ ε > 0) U(x0, ε) ∩ X ≠ ∅
        x0 - ТП ⟹ ∃ {xn} (∀ n ∈ N) xn ∈ X ⋀ lim xn = x0 ⟹ (∀ ε > 0) ∃ nε: (∀ n > nε) xn ∈ U(x0, ε) ⟹ (∀ ε > 0) U(x0, ε) ∩ X ≠ ∅
        
        (∀ ε > 0) U(x0, ε) ∩ X ≠ ∅ ⟹ x0 – ТП (докажем с помощью непосредственного построения)
        Выберем для каждого n ∈ N какую-либо точку в непустом по условию пересечении X ∩ U(x0; 1/n) и обозначим ее через xn, т.е. xn ∈ X ∩ U(x0; 1/n) n = 1, 2, 3, … Получили последовательность точек X, стремящуюся к x0. чтд.
    - - Для любого непустого множества X его точная нижняя грань a = inf X и его точная верхняя грань b = sup X являются его точками прикосновения (они могут быть как конечными, так и бесконечными). Докажем для b = sup X. Вспоминаем определение точной верхней грани. Затем вспоминаем, что каждая ε-окрестность точки b содержит по крайней мере один элемент множества X ⟹ b – точка прикосновения множества X.