Для того, чтобы функция f: X ⟶ R имела предел (конечный или определенного знака бесконечный) в точке x0, являющейся точкой прикосновения множества X, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности {xn} элементов множества X, имеющей своим пределом точку x0, последовательность {f(xn)} соответствующих значений функции просто имела предел (конечный или определенного знака бесконечный).
Доказательство необходимости:
Из определения предела функции в точке следует, что все последовательности {f(xn)} не просто имеют предел, а имеют один и тот же предел, равный a. Необходимость очевидна.
Доказательство достаточности:
1-ый способ (мой, с помощью МОП):
Допустим, что существует две последовательности {xn} и {yn} точек множества X, стремящиеся к x0 (т.е. (∀ n ∈ N) xn ∈ X; (∀ n ∈ N) yn ∈ X): lim xn = x0 ∧ lim yn = x0). такие, что lim f(xn) = a, lim f(yn) = b, a ≠ b (a и b ∈ R расш) (естественно, предполагаем, что все последовательности соответствующих значений функции имеют пределы (возможно, разные)). Составим из {xn} и {yn} новую последовательность zn = x1, y1, x2, y2, x3. y3. …, т.е. на нечетных позициях находятся элементы последовательности {xn}, а на четных позициях находятся элементы последовательности {yn}. Очевидно, что {zn} – последовательность элементов множества X, причем такая, что lim zn = x0 (доказывается очень просто: для любой ε-окрестности точки x0, существует n1, начиная с которого все xn будут в окрестности, и n2, начиная с которого все yn будут в окрестности, выбирается n0 = max{n1, n2}, и получается. что (∀ n > n0) zn ∈ U(x0, ε) ⇒ lim zn = x0). Последовательности {f(xn)} и {f(yn)} будут подпоследовательностями последовательности {f(zn)}. Но т.к. {f(xn)} и {f(yn)} имеют разные пределы, последовательность {f(zn)} предела не имеет (если бы {f(zn)} имела предел, то все ее подпоследовательности имели бы один и тот же предел, причем, совпадающий с пределом {f(zn)}). Таким образом, имеем последовательность {f(zn)}, которая не имеет предел. Но по предположению, все последовательности соответствующих значений функции имеют предел. Противоречие.
2-ой способ (см. Кудрявцев, 1-ый том, с.178).