la misura e le grandezze proporzionali e le similitudini
una similitudine è una trasformazione geometrica che si ottiene dalla composizione di un'omotetia e un'isometria, o viceversa
i criteri di similitudine dei triangoli
il primo criterio
se due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti, allora sono simili
il secondo criterio
se due triangoli hanno due lati ordinatamente in proporzione e l'angolo tra essi compreso congruente, allora sono simili
il terzo criterio
se due triangoli hanno ordinatamente in proporzione, allora sono simili
applicazione dei criteri di similitudine
in due triangoli simili le basi stanno fra tra loro come le rispettive altezze
in un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale fra l'ipotenusa e la propria proiezione sull'ipotenusa
il secondo teorema di Euclide
in un triangolo rettangolo, l'altezza relative all'ipotenusa è medio proporzionale fra le proiezione dei cateti sull'ipotenusa
la similitudine nella circonferenza
se in una circonferenza due corde si intersecano, i segmenti che si formano sulla prima corda e quelli che si formano sulla seconda sono, rispettivamente, i medi e gli estremi di una stessa proporzione
il teorema delle secanti
se da un punto P esterno a una circonferenza si conducono due secanti e si considerano i segmenti che hanno un estremo in P e l'altro in ciascuno dei punti di intersezione, i segmenti sulla prima secante sono gli estremi e i segmenti sulla seconda i medi di una stessa proporzione
il teorema della secante e della tangente
se da un punto P esterno a una circonferenza si tracciano una secante e una tangente, il segmento di tangente che ha per estremi P e il punto di contatto è medio proporzionale fra i segmenti di secante che hanno per estremi P e ciascuno dei punti di intersezione
la sezione aurea di un segmento
la sezione aurea di un segmento è quella parte che è medio proporzionale fra l'intero segmento e la parte di segmento rimanente
il teorema di Talete
se un fascio di rette parallele è intersecato da due trasversali i segmenti (compresi fra rette parallele) che si formano sulla prima trasversale sono direttamente proporzionali ai segmenti (compresi fra le stesse rette parallele) che si formano sulla seconda trasversale
se su due rette r e r' si considerano rispettivamente due insieme di punti ordinati e in corrispondenza biunivoca tali che
i segmenti aventi per estremi punti corrispondenti sono in proporzione
le rette che congiungono due coppie di punti tra loro corrispondenti sono parallele
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allora tutte le rette congiungenti coppie di punti corrispondenti sono parallele
teorema della retta parallela a un lato di un triangolo
una retta parallela a un lato di un triangolo divide gli altri due lati,o i loro prolungamenti, in segmenti proporzionali
il teorema della bisettrice di un angolo interno di un triangolo
in un triangolo, la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in parti direttamente proporzionali agli altri due lati