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equazioni di secondo grado e di grado superiore al secondo (un'…
equazioni di secondo grado e di grado superiore al secondo
un'equazione di secondo grado, in forma normale, nell'incognita x è del tipo
ax^2 + bx + c = 0 con a ≠ 0
possono tuttavia essere di secondo grado INCOMPLETE
monomia
ax^2=0, a ≠ 0
l'equazione ha una sola soluzione (doppia): x = 0
pura
ax^2 + c, a ≠ 0 e c ≠ 0
per risolvere l'equazione, si pone nella forma x^2 = -c/a
se -c/a > o = 0 le soluzioni sono x = +- √-c/a
spuria
ax^2 + bx = 0, a ≠ 0 e b ≠ 0
2x^2+1 = 0 x^2 = -1/2
4x^2-1 = 0 x^20 1/4 x = +- √1/4 0 +- 1/2
come risolvere le equazioni di secondo grado complete, ax^2+bx+c=0, ove tutti i coefficienti sono diversi da zero
per prima cosa bisogna calcolare il discriminante dell'equazione. esso ha come simbolo Δ
formula:
b^2-4ac
se Δ=0
l'equazione ha una soluzione doppia, data dalla formula
-b/2a
se Δ>0
l'equazione ha due soluzioni reali distinte, date dalla formula x=-(b±√Δ)/2a
se Δ<0
non ci sono soluzioni reali
relazione tra radici e coefficienti di un'equazione di secondo grado
la formula che dà la
somma
delle radici dell'equazione ax^2+bx+c=0
x1+x2=-b/a
la formula che dà il il
prodotto
delle radici dell'equazione ax^2+bx+c=0
x1x2=c/a
equazioni letterali
un'equazione di secondo grado si dice
letterale
quando i coefficienti dipendono da alcune lettere,dette parametri
il procedimento risolutivo è lo stesso tra un'equazione letterale di secondo grado e una numerica di secondo grado, tuttavia bisogna prestare attenzione a identificare correttamente i coefficienti. può essere richiesto di discuterla, ovvero studiare come variano,al variare dei parametri, l'esistenza e il numero delle soluzioni dell'equazione
i passi fondamentali per discutere un'equazione di secondo grado intera sono i seguenti:
studiare come varia, al variare dei parametri, il segno del discriminante
stabilire se ci sono valori dei parametri per cui l'equazione diventa di primo grado, ossia in grado di annullare il valore dei incognita di secondo grado
x^-2mx=3 è un'equazione di secondo grado letterale
le parabole
il grafico della funzione y = f(x) = ax^2+bx+c è una parabola
concavità
se a>0 la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto
la parabola y=x^2-4x ha la concavità rivolta verso l'alto perché a=1>0
se a<0 la parabola ha la concavità verso il basso
la parabola y=-1/2x^2+1 ha la concavità verso il basso perché a=-1/2 <0
il vertice e l'asse
il vertice è il punto di coordinate V(-b/2a, f (-b/2a))
la parabola di equazione y=x^2-2x-3 ha vertice nel punto di ascissa: xv=-b/2a=-( -2/2)=1
l'ordinata del vertice si calcola sostituendo
1
al posto di x nell'equazione della parabola: yv=1^2 -2(1)-3=-4. il vertice è quindi V(1,-4)
l'asse è la retta verticale passante per il vertice; la sua equazione è x=-b/2a
i punti d'intersezione con l'asse x
se Δ=0
la parabola è tangente all'asse x nel punto (x0, 0) essendo x0 la soluzione (doppia)
se Δ>0
la parabola interseca l'asse x nei punti di coordinate (x1,0) e (x2,0). essendo x1 e x2 le soluzioni dell'equazione ax^2+bx+c=0
se Δ<0
la parabola non interseca l'asse x
equazioni binomie
del tipo ax^n+b=0 con a≠0 e b≠0
per risolverla si porta nella forma x^n=-b/a
se n è
dispari
l'equazione ammette sempre un'unica soluzione x=n^√-b/a
se n è
pari
se -b/a<0 l'equazione è impossibile
se -b/a>0 l'equazione presenta due soluzioni reali
opposte
x=-n^√-b/a
x=n^√-b/a
le equazioni trinomie
del tipo ax^2n+bx^n+c=0 con a≠0, b≠0 e c≠0
le equazioni trinomie si risolvono ricorrendo a un'incognita ausiliaria ponendo x^n0t si ottiene così un equazione di secondo grado at^2+bt+c=0
se questa equazione non ha soluzioni reali, anche l'equazione originaria non ha soluzioni in R
se invece l'equazione ha soluzioni reali, dette t1 e t2 le due soluzioni (eventualmente t1=t2 se Δ =0) le soluzioni dell'equazione trinomia sono le soluzioni delle due equazioni x^n=t1 x^n=t2
dopo aver risolto l'equazione in t ottenuta mediante la sostituzione x^n=t ci si dimentica che bisogna tornare alla variabile x,risolvendo le due equazioni x^n=t1 e x^n=t2
se a<0 puoi ricondurti al caso in cui a>0 cambiando i segni e il verso della disequazione. alternativamente puoi continuare a "leggere" le soluzioni delle disequazioni di secondo grado sui grafici delle parabole corrispondenti: il metodo di ‘lettura’ è del tutto analogo, ma gli insiemi delle soluzioni che si deducono dai grafici sono diversi perché le parabole hanno la concavità rivolta verso il basso
i sistemi non lineari
la forma generale di un sistema di secondo grado è {ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 {ax+by+c=0
per risolvere un sistema di secondo grado con il metodo della sostituzione dall'equazione di primo grado si ricava l'espressione di un'incognita in funzione dell'altra e si sostituisce l'espressione ottenuta nell'equazione di secondo grado: si ottiene così un'equazione risolvente che permette di determinare i valori di una delle due incognite. si conclude poi calcolando i valori dell'altra incognita
i sistemi di grado superiore al secondo si possono risolvere con le stesse tecniche degli altri sistemi:sostituzione,addizione, sottrazione, ricorso a opportune soluzioni ecc...
un sistema simmetrico è costituito da equazioni che restano equivalenti quando si cambia la x con la y
come {x+y=2 {xy=5
se (x,y) è una soluzione di un sistema simmetrico anche (y,x) lo è
si risolvono con le stesse tecniche degli altri sistemi
