Последовательности (часть 2)
Ограниченность сходящихся последовательностей
Ограниченность сходящейся
Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Док-во: см. Кудявцев «Курс…» том 1. (там неплохое доказательство). Мое доказательство основано на идеях из Фихтенгольца.
Определения
Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество значений ее элементов ограничено сверху (снизу), т.е. если ∃ M ∈ R (∀ n ∈ N) xn ≤ M (∃ m ∈ R (∀ n ∈ N) xn ≥ m).
Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. {xn} ограничена, если ∃ m ∈ R, ∃ M ∈ R (∀ n ∈ N) m ≤ xn ≤ M. Очевидно, что последовательность {xn} ограничена тогда и только тогда, когда ∃ M ∈ R (∀ n ∈ N) |xn| ≤ M (можно рассматривать данный факт как критерий или как другое определение, равносильное первому, доказывается в обе стороны очень легко).
Определения для неограниченных (сверху, снизу) последовательностей формулируются отрицанием соответствующих определений.
Монотонные последовательности
Супремум/инфимум
Невозрастающая и неубывающая последовательности
Теорема Вейерштрасса
Следствие
Бесконечно малые последовательности
Определение и примеры БМП
Определение:
Последовательность {αn} называется бесконечно малой последовательностью, если lim αn = 0 (n → ∞).
Примеры БМП: 1/n, (1/n)sin[(pi/2)n] и т.д.
Конечная линейная комбинация
Любая линейная комбинация бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью: lim (μαn+ σbn) = 0 (n → ∞), где {αn} и {bn} – БМП, а μ и n ∈ R.
Доказательство:
- Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью (доказывать только с помощью определения, т.к. критерий Коши на данном этапе еще не изучен). Очень простое и короткое доказательство: существует n1 и n2, положим n0 = max {n1, n2}, |αn + βn| ≤ |αn| + |βn| < 2ε.
- Разность двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью. Доказательство аналогичное, только другое свойство модуля: |αn - βn| ≤ |αn| + |βn|.
- Произведение бесконечной малой последовательности на действительное число является бесконечной малой последовательностью: lim αn = 0 (n → ∞) ⟹ lim сαn = 0 (n → ∞) ∀ c ∈ R.
Доказательство данного факта проводится в два этапа:
3.1. lim αn = 0 (n → ∞) ⟹ lim -αn = 0 (n → ∞) (очень простое доказательство, основанное на факте |αn| = |-αn| ∀ n ∈ N)
3.2. lim αn = 0 (n → ∞) ⟹ lim сαn = 0 (n → ∞) ∀ c ≥0.
Четыре варианта: c = 0, 0 < c < 1, c = 1, c > 1. В первом случае – предел константы, во втором случае выполняется неравенство |cαn| ≤ |αn| < ε, в третьем случае 2 тождественно равные последовательности (в принципе, это одна и та же последовательность, очевидно, предел равен нулю), в четвертом – (∀ ε > 0) ∃ nε: (∀ n > nε) |αn| < ε/c ⟹ (∀ ε > 0) ∃ nε: (∀ n > nε) |cαn| = c|αn| < ε ⟹ lim сαn = 0 (n → ∞).
Соответствующее утверждение верно для любой конечной линейной комбинации бесконечно малых последовательностей.
Что такое сумма/разность/произведение/частное последовательностей
Над последовательностями можно проводить арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления. Определим их.
Пусть заданы числовые последовательности {xn} и {yn}: суммой, разностью и произведением этих последовательностей называются соответственно последовательности {xn + yn}, {xn – yn} и {xnyn}. Если yn ≠ 0 ∀ n ∈ N, то частным от деления последовательности xn на yn называется последовательность {xn/yn}. Если последовательность {yn} такова, что в ней имеется лишь конечное число элементов, равных нулю, т.е. ∃ n0 ∈ N: (∀ n ≥ n0) yn ≠ 0, то можно рассматривать последовательность {xn/yn}, понимая под ней последовательность с номерами n ≥ n0. Наконец, произведением последовательность {xn} на число c ∈ R называется последовательность {cxn}.
Следствие
Произведение конечного числа БМП является БМП.
БМП, как и всякая сходящаяся последовательность, ограничена. Произведение БМП на ограниченную – БМП.
Произведение БМП на ограниченную
Произведение БМП на ограниченную является 1) БМП и 2) ограниченной.
1) Пусть {an} – БМП, {xn} – ограниченная.
∃ M > 0: (∀ n ∈ N) |xn| ≤ M
(∀ ε > 0) ∃ n0: (∀ n > no) |an| < ε/M, следовательно
(∀ ε > 0) ∃ n0: (∀ n > no) |an xn| = |an| |xn| < ε ⟹ lim (an xn) = 0
2) Любая БМП – частный случай сходящейся ⟹ {an xn} ограничена.
Точная верхняя (нижняя) грань множества значений элементов последовательности {xn} называется точной верхней (нижней) гранью данной последовательности и обозначается sup {xn} (inf {xn}).
Если верхняя (нижняя) грань является числом, то это определение можно сформулировать следующим образом:
Число а называется точной верхней гранью последовательности {xn}, если
1.0. (∀ n ∈ N) xn ≤ a (т.е. число а ограничивает последовательность сверху – является ее верхней гранью)
2.1. (∀ a’ < a) ∃ no ∈ N: xno > a’ (т.е. никакое число, меньшее а, не является верхней гранью)
2.2. (∀ ε > 0) ∃ nε: xnε > a – ε (то же самое, только в терминах эписон)
Аналогично определение формулируется для точной нижней грани.
Последовательность {xn} называется неубывающей (невозрастающей), если (∀ n ∈ N) xn ≤ xn+1 (xn
≥ xn+1). Для строго монотонных все тоже самое, кроме неравенства – оно строгое. Невозрастающие (неубывающие) последовательности и их строгие аналоги называются монотонными последовательностями.
Теорема Вейерштрасса:
Всякая неубывающая числовая последовательность {xn} имеет предел, конечный, если она ограничена сверху (причем lim xn = sup {xn}), и бесконечный, равный +∞, если она не ограничена сверху. Аналогично, всякая невозрастающая числовая последовательность {xn} имеет предел, конечный, если она ограничена снизу (причем lim xn = inf {xn}), и бесконечный, равный -∞, если она не ограничена снизу.
Приведем доказательство для ограниченной сверху неубывающей последовательности (для невозрастающей аналогичное). Доказательство выглядит примерно следующим образом: рассмотрим b = sup {xn} (который, несомненно, существует, т.к. мы имеем дело с ограниченным сверху множеством), внезапно b является пределом этой последовательности.
(∀ n ∈ N) xn ≤ b
(∀ ε > 0) ∃ n0: xn0 > b – ε
(∀ n > n0) b – ε < xn0 ≤ xn ≤ b
Следовательно, (∀ ε > 0) ∃ n0: (∀ n > n0) xn – b < ε ⟹ lim xn = b = sup {xn}
Пусть теперь {xn} не ограничена сверху. Тогда (∀ E > 0) ∃ n0: xn0 > E и (∀ n > n0) xn > E ⟹ lim xn = +∞ = sup {xn}
Доказанная теорема является типичной "теоремой существования": в ней устанавливается факт существования предела, но не дается никакого приема для его вычисления. Тем не менее, она имеет очень важное значение, хотя бы потому, что в теоретических вопросах подчас одно только существование предела является важным.
∀ монотонной последовательности {xn} справедливо:
если {xn} сходится ⟹ {xn} ограничена ⟹ ограничена сверху (вытекает из ограниченности сходящейся)
если {xn} ограничена (сверху или снизу) ⟹ {xn} сходится (теорема Вейерштрасса)
Таким образом, справедливо утверждение:
Для того, чтобы неубывающая (невозрастающая) последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху (снизу).
Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями
{xn} и {|xn|}
Лемма
Конечная линейная комбинация
Произведение
Частное
Основная теорема
Следствие 1
(про константу)
Следствие 2
(про степень)
Для того, чтобы число а являлось пределом числовой последовательности {xn}, необходимо и достаточно, чтобы ее члены xn имели вид xn = a + αn, где αn – БМП.
lim xn = a (n → ∞) ⟺ (∀ n ∈ N) xn = a + αn, причем lim αn = 0 (n → ∞)
Докажем ⟹
lim xn = a (n → ∞) ⟹ (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: |xn – a| < ε ⟹ lim (xn – a) = 0, т.е. {xn – a} – БМП
(∀ n ∈ N) xn = (xn – a) + a, т.е. любой член последовательности, имеющей конечный предел а, можно представить в виде суммы а и БМП
Докажем ⟸
lim αn = 0 (n → ∞) ⟹ (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: |αn| < ε ⟹ (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: |(αn + a) - a| < ε ⟹ lim (αn + a) = a (n → ∞) ⟹ lim xn = a (n → ∞)
Эта лемма показывает особую роль бесконечно малых последовательностей при изучении понятия предела, так как общее понятие предела последовательности с помощью этой леммы сводится к понятию нулевого предела. Это обстоятельство далее широко используется при изучении ряда свойств сходящихся последовательностей.
Если последовательность {xn} сходится, то сходится и последовательность {|xn|} , причем если lim xn = a (n → ∞), то и lim |xn| = a (n → ∞) (a ∈ R)
∀ {xn}: lim xn = a (n → ∞) ⟹ lim |xn| = |a| (n → ∞) (a ∈ R)
Доказательство:
lim xn = a (n → ∞) ⟹ (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: |xn – a| < ε
Т.к. ||a| - |b|| ≤ |a – b| ∀a,b∈R имеем
||xn| - |a|| ≤ |xn – a| ∀ n ∈ N, ∀ a ∈ R следовательно
(∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: ||xn| - |a|| ≤ |xn – a| < ε ⟹ lim |xn| = |a| (n → ∞)
Конечная линейная комбинация сходящихся (!) последовательностей также является сходящейся последовательностью, и ее предел равен такой же линейной комбинации пределов данных последовательностей.
Докажем для 1) суммы, 2) разности, 3) произведения последовательности на константу
- Предел суммы двух сходящихся (!) последовательностей равен сумме их пределов
1 способ («в лоб»):
lim xn = a (n → ∞) ⟹ (∀ ε > 0) ∃ n1 ∈ N ∀ n > n1: |xn – a| < ε/2
lim yn = b (n → ∞) ⟹ (∀ ε > 0) ∃ n2 ∈ N ∀ n > n2: |yn – b| < ε/2
no = max {n1; n2}
(∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |(xn + yn) – (a + b)| = |(xn – a) + (yn – b)| ≤ |(xn - a)| + |(yn – b)| < ε ⟹ lim (xn + yn) = a + b (n → ∞)
2 способ (с помощью леммы):
(∀ n ∈ N) xn = a + αn; (∀ n ∈ N) yn = b + βn ⟹ (∀ n ∈ N) xn + yn = a + αn + b + βn = (a + b) + (αn + βn) ⟹ lim (xn + yn) = a + b (т.к. мы смогли представить все члены последовательности {xn + yn} в виде суммы константы (a + b) и БМП {αn + βn}. - Аналогично этими же двумя способами доказывается, что предел разности двух сходящихся (!) последовательностей равен разности их пределов.
В первом способе используется неравенство |(xn – yn) – (a – b)| = |(xn – a) – (yn – b)| ≤ |xn – a| + |yn – b| < ε
Второй способ использует следующий факт: (∀ n ∈ N) xn – yn = (a + αn) – (b + βn) = (a – b) + (αn – βn), т.е. получили сумму константы и БМП ⟹ lim (xn - yn) = a – b - Предел произведения константы на сходящуюся (!) последовательность равен произведению константы на предел последовательности.
1 способ: lim xn = a (n → ∞) ⟹ (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < ε/|c| ⟹ (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |cxn – ca| = |c(xn – a)| = |c||xn – a| < |c|*(ε/|c|) = ε (при c ≠ 0; если c = 0, то доказательство тривиально) ⟹ lim cxn = ca = c lim xn
2 способ: (∀ n ∈ N) xn = a + αn ⟹ cxn = ca + cαn (const + БМП) ⟹ lim cxn = ca = c lim xn
Если последовательности {xn} и {yn} сходятся, то их произведение {xn yn} также сходится, и lim (xn yn) = lim xn * lim yn, т.е. предел произведения сходящихся последовательностей существует и равен произведению пределов данных последовательностей.
Док-во см. «Курс» Кудрявцева, с 122 (основная идея - представить {xn yn} в виде суммы константы ab и БМП.
Если последовательность {xn} сходится, то для любого числа c последовательность {cxn} также сходится, причем lim cxn = c lim xn (т.е. постоянную можно выносить за знак предела).
Есть 2 способа доказать данный факт: 1) «в лоб» - см. «линейная комбинация» в этой ветке; 2) как частный случай произведения стационарной последовательности yn = 0 на {xn}.
Если {xn} – сходящаяся последовательность и k – натуральное число, то lim (xn)^k = (lim (xn))^k
Данный факт следует из теоремы о произведении сходящихся последовательностей.
Определение без термина "предел"
Данное выше определение предела БМП можно сформулировать без упоминания термина «предел»:
Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если она становится и остается меньшей произвольного наперед заданного числа ε > 0, начиная с некоторого места.
{an} – БМП ⟺ (def) (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: |xn| < ε
Про термин "бесконечно малая"
Не вполне удачный (исторически сложившийся) термин «бесконечно малая» не должен вводить в заблуждение: ни одно в отдельности взятое значение этой последовательности (если оно не нуль) не может квалифицироваться как «малое». Суть дела в том, что это – переменная величина, которая лишь в процессе своего изменения способна сделаться меньшей произвольно взятого чиста ε (исключение – тривиальный случай стационарной нулевой последовательности).
Общее определение предела через БМП
Число a называется пределом последовательности {xn}, если разность между ними есть БМП. Разумеется, если исходить из этого определения предела, то для БМП нужно использовать второе определение без термина «предел». Иначе получится порочный круг: предел определяется через БМП, а БМП – через предел.
Если последовательность {xn} и {yn} сходятся, (∀ n ∈ N) yn ≠ 0, lim xn = a, lim yn = b ≠ 0, то последовательность {xn/yn} также сходится, причем lim xn/yn = a/b, т.е. при сделанных предположениях предел частного двух сходящихся последовательностей существует и равен частному от пределов данных последовательностей.
Доказательство:
Достаточно доказать, что последовательность {xn/yn – a/b} является БМП.
xn = a + an, yn = b + bn, где {an} и {bn} – БМП
xn/yn – a/b = (1/b yn)(b an + a bn)
{b an + a bn} – БМП
{1/b yn} – ограничена (это легко доказать, т.к. очевидно, существует yn0, который ближе всех к нулю и ymo, который дальше всех от нуля, предварительно выбрав окрестность точки b, не содержащую нуля)
{xn/yn – a/b} – БМП как произведение ограниченной на БМП ⟹ lim xn/yn = a/b.
ИМХО док-во у Фихтенгольца лучше
Неопределенности
Если последовательности стремятся к конечным пределам (коме нулевого предела в частном), то
их сумма/разность/произведение/частное сходятся и не вызывают никаких вопросов – все они были рассмотрены в предыдущей ветке «Свойства пределов, связанные…». Но иногда пределы последовательностей могут бесконечными (или - если речь идет о частном – когда предел знаменателя равен нулю). В таких ситуациях нельзя применять утверждения, аналогичные рассмотренным ранее, т.к. при одинаковых пределах входящих последовательностей, их комбинация может иметь разные пределы (или не иметь предел вовсе).
Виды неопределенностей: 0/0; ∞/∞; 0*∞; ∞ - ∞ (конечно, символы эти лишены всякого числового смысла - каждый из них является лишь краткой условной характеристикой для выражений одного из четырех типов неопределенностей). Знание их пределов недостаточно для того, чтобы сделать вывод об пределе их комбинации такого вида. В таких ситуациях необходимо непосредственно исследовать данные последовательности. Подобное исследование получило называние раскрытия неопределенностей. С целью «уничтожения» неопределенностей проводят различные преобразования выражений. Подробности + примеры см. Фихтенгольц с 73.
Площадь под параболой
Будем рассматривать параболу f(x) = ax^2 (a > 0). Доказательство у Фихтенгольца очень невнятное. Мое лучше :). Рассматривать будем только правую ветку (неотрицательные значения аргумента). Выберем b > 0 («стена», до которой ограничиваем фигуру – сегмент, площадь которой хотим найти). Разобьем нашу фигуру – сегмент на n столбиков. Далее тонкий момент (который не доказывается) – мы полагаем, что эти прямоугольники «закроют» всю площадь этой фигуры – сегмента при n, стремящемся к бесконечности (т.е. при бесконечном уменьшении их толщины). Теперь начинаем строить последовательность чисел, приближающих искомую площадь по недостатку. Очевидно, нас интересует сумма (n – 1) площадей прямоугольников. Почему не n? Потому что мы игнорируем тот маленький кусок, находящийся около нуля. Хоть он будет при любом конечном n, все же он будет уменьшатся при увеличении n. Сложим площади прямоугольников при n (ширина равна b/n, а высота равна f(kb/n), т.е. зависит от номера прямоугольника). Затем перейдем к пределу при n, стремящемся к бесконечности (используя сумму первых (n – 1) квадратов натуральных чисел).
Теорема Штольца
Формулировку и доказательство см. Википедию.Важное следствие из теоремы Штольца - последовательность средних арифметических (см. Фихтенгольца)
{xn - yn}
Если разность {xn – yn} последовательностей {xn} и {yn} является бесконечно малой, то они одновременно имеют или не имеют пределы (конечные или бесконечные), причем, если эти пределы существуют, то они равны.
Про бесконечные суммы и произведения
Сумма бесконечного числа бесконечно малых последовательностей может не являться бесконечно малой последовательностью (очевидно, такую сумму необходимо предварительно определить – последовательность частичных сумм?). Произведение бесконечного числа бесконечно малых последовательностей может не являться бесконечно малой последовательностью (очевидно, такое произведение необходимо предварительно определить). Оставим эти факты без доказательства до изучения теории рядов.
Связь БМП и бесконечно больших
Для того, чтобы последовательность {xn} (xn ≠ 0 ∀ n ∈ N) была бесконечно малой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {1/xn} была бесконечно большой.
- lim xn = 0 ⟹ lim 1/xn = ∞
Доказательство: lim xn = 0 ⟹ (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: 0 < |xn| < ε ⟹ (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: 1/|xn| > 1/ε ⟹ (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: |1/xn| > 1/ε ⟹ lim 1/xn = ∞ - lim 1/xn = ∞ ⟹ lim xn = 0
Доказательство: lim 1/xn = ∞ ⟹ (∀ E > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: |1/xn| > E ⟹ (∀ E > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: |xn| < 1/E ⟹ lim xn = 0