Теорема Вейерштрасса:
Всякая неубывающая числовая последовательность {xn} имеет предел, конечный, если она ограничена сверху (причем lim xn = sup {xn}), и бесконечный, равный +∞, если она не ограничена сверху. Аналогично, всякая невозрастающая числовая последовательность {xn} имеет предел, конечный, если она ограничена снизу (причем lim xn = inf {xn}), и бесконечный, равный -∞, если она не ограничена снизу.
Приведем доказательство для ограниченной сверху неубывающей последовательности (для невозрастающей аналогичное). Доказательство выглядит примерно следующим образом: рассмотрим b = sup {xn} (который, несомненно, существует, т.к. мы имеем дело с ограниченным сверху множеством), внезапно b является пределом этой последовательности.
(∀ n ∈ N) xn ≤ b
(∀ ε > 0) ∃ n0: xn0 > b – ε
(∀ n > n0) b – ε < xn0 ≤ xn ≤ b
Следовательно, (∀ ε > 0) ∃ n0: (∀ n > n0) xn – b < ε ⟹ lim xn = b = sup {xn}
Пусть теперь {xn} не ограничена сверху. Тогда (∀ E > 0) ∃ n0: xn0 > E и (∀ n > n0) xn > E ⟹ lim xn = +∞ = sup {xn}
Доказанная теорема является типичной "теоремой существования": в ней устанавливается факт существования предела, но не дается никакого приема для его вычисления. Тем не менее, она имеет очень важное значение, хотя бы потому, что в теоретических вопросах подчас одно только существование предела является важным.