Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

Последовательности (часть 3) (Критерий Коши сходимости последовательности,…

- - - - Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши (т.е. чтобы она была фундаментальной).
    - - Доказательство необходимости (ПС ⟹ ПФ)
        Если последовательность сходится (ПС), то она фундаментальна (ПФ).
        Доказательство №1. (через интуицию о точках в ε-окрестности).
        lim xn = a, a ∈ R ⟹ (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: xn ∈ U(a; ε) ⟹ (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε ∀ m > nε: |xn – xm| < 2ε ⟹ (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε ∀ m > nε: |xn – xm| < ε, чтд.
        Доказательство №2. (через неравенства с модулем).
        lim xn = a, a ∈ R ⟹ (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: |xn – a| < ε/2 и ∀ m > nε: |xm – a| = |a – xm| < ε/2 ⟹ (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε ∀ m > nε: |xn – xm| = |(xn – a) + (a – xm)| ≤ |xn – a| + |a – xm| < ε/2 + ε/2 = ε, чтд.
- - - - Предел, конечный или бесконечный определенного знака, подпоследовательности данной последовательности называется ее частичным пределом.
  - - - 1-ый вариант (мое доказательство с помощью МОП):
        Мое доказательство следующее: раз {xn} имеет предел, значит существует точка a (конченая или бесконечно удаленная), в которой содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого. Пусть существует отличная от нее точка b (конченая или бесконечно удаленная), которая является пределом подпоследовательности. Выберем 2 непересекающиеся окрестности этих точек. Раз a – предел последовательности {xn}, то вне выбранной окрестности лежит лишь конечное число членов {xn}. Т.к. b – предел подпоследовательности, то в выбранной окрестности b лежит бесконечное число элементов подпоследовательности. Но множество элементов подпоследовательности является подмножеством множества элементов самой последовательности {xn}. Получается, что в выбранной окрестности точки b лежит бесконечно много элементов последовательности {xn}. Но такого быть не может, т.к. вне выбранной окрестности точки a лежит лишь конечное число членов последовательности {xn}. Пришли к противоречию.
        2-ый вариант (трехтомник Кудрявцева):
        Доказательство Кудрявцева опирается на лемму о перенумеровке (см. предыдущая ветка). Подпоследовательность просто является частным случаем перенумерованной последовательности. Очень неинтуитивное доказательство.
        3-ый вариант (трехтомник Фихтенгольца):
        Пусть точка a (конченая или бесконечно удаленная) – предел последовательности {xn}. Тогда ∀ ε > 0 ∃ N: ∀ n > N → xn ∈ U(a; ε). Т.к. lim nk = +∞ ⇒ для N ∃K: ∀ k > K → nk > N. Тогда, при тех же значениях k, будет иметь место xnk ∈ U(a; ε), что и означает, что lim xnk = a. Заметим попутно, что в этом рассуждении мы не опирались на неравенства членов подпоследовательности, т.е. не пользовались монотонностью последовательности {nk}.
        Еще заметим, что в процессе доказательства мы не использовали неравенства с модулем, а использовали лишь факт принадлежности членов последовательности некоторой ε-окрестности точки a. Именно поэтому доказательство справедливо как для конченого предела, так и для бесконечного (∞,+∞,-∞).
        Значит, наше утверждение сохраняет силу, по какому бы закону ни стремилась к +∞ целочисленная последовательность {nk}.
        По сути, доказательство Фихтенгольца дословно копирует доказательство леммы о перенумеровке.
    - - Если последовательность {xn} имеет определенный предел a (конечный или нет), то такой же предел имеет любая ее подпоследовательность.