Теорема 2. dim(Im φ)+dim(Ker φ) = dim(V)
Док-во
Выберем базис пр-ва V специальным образом: сначала возьмем базис {e1, e2, ..., ek} подпр-ва Ker φ , а затем дополним его какими-то векторами ek+1, ..., en до базиса пр-ва V.
Т.к. по построению φ(e1) = φ(e2) = ... = φ(ek) = 0, то Im(φ) = <φ(ek+1), ... , φ(en)>.
Док-м, что векторы φ(ek+1), ... , φ(en) - ЛНЗ, откуда следует утв-е теоремы.
Пусть ЛК a1φ(ek+1) + ... + an-kφ(en) = 0
Рассмотрим вектор x = a1(ek+1) + ... + an-ken
Это равенство означает, φ(x) = 0, а след-но,
x∈Ker φ = <e1, e2, ..., ek>
Т.к. e1, ..., ek, ek+1, ..., en - ЛНЗ, то это возможно только при a1 = a2 = ... = an-k = 0. ЧТД