Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

Последовательности (черновик первонач) (Предел числовой последовательности…

- - - - Точка a (конечная или бесконечно удаленная) числовой прямой называется пределом некоторой числовой последовательности действительных чисел, если, какова бы ни была окрестность точки a, она содержит все члены рассматриваемой последовательности начиная с некоторого номера. Этот номер зависит, вообще говоря, от выбора окрестности точки a. Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании.
    - - a = lim xn (n → ∞) ⟺ (def) (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: xn ∈ U(a; ε)
- - - - lim xn = a (n → ∞), a ∈ R; ⇒ (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < 2ε
        Доказательство:
        (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: |xn – a| < ε < 2ε
        
        (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < 2ε ⇒ lim xn = a (n → ∞)
        Доказательство:
        (∀ ε > 0) ∃ δ = ε/2
        (∀ δ > 0) ∃ nδ ∈ N ∀ n > nδ: |xn – a| < 2δ = ε
        ⇓
        (∀ ε > 0) ∃ nδ ∈ N ∀ n > nδ: |xn – a| < ε
        
        Вывод:
        lim xn = a (n → ∞), a ∈ R; ⟺ (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < 2ε
    - - lim xn = a (n → ∞), a ∈ R; ⇒ (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < ε/2
        Доказательство:
        (∀ ε > 0) ∃ δ = ε/2
        (∀ δ > 0) ∃ nδ ∈ N ∀ n > nδ: |xn – a| < δ = ε/2
        ⇓
        (∀ ε > 0) ∃ nδ ∈ N ∀ n > nδ: |xn – a| < ε/2
        
        (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < ε/2 ⇒ lim xn = a (n → ∞), a ∈ R;
        (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: |xn – a| < ε/2 < ε
        
        Вывод:
        lim xn = a (n → ∞), a ∈ R; ⟺ (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < ε/2
  - - - lim xn = a (n → ∞), a ∈ R; ⇒ (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < cε = ε
        
        (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < cε = ε ⇒ lim xn = a (n → ∞)
    - - lim xn = a (n → ∞), a ∈ R; ⇒ (∀ ε > 0) (∀c: 0 < c < 1) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < cε
        
        ∃ c: 0 < c < 1 (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < cε ⇒ lim xn = a (n → ∞)
    - - lim xn = a (n → ∞), a ∈ R; ⇒ (∀ ε > 0) (∀ c > 1) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < cε
        
        ∃ c > 1 (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < cε ⇒ lim xn = a (n → ∞)
    - - lim xn = a (n → ∞), a ∈ R; ⇒ (∀ ε > 0) (∀ c > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < cε
        
        ∃ c > 0 (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < cε ⇒ lim xn = a (n → ∞)
        
        Доказательства для c я не привел, т.к. они выполняются по аналогии с 2ε и ε/2. Вообще, если есть конкретное число c, то проще провести эти выводы «с нуля» в рамках решаемой задачи (т.к. они элементарные) и использовать доказанные факты в тех случаях, когда необходимы общие рассуждения.
        Таким образом, для того, чтобы числовая последовательность {xn} имела предел, имела своим пределом число a ∈ R, необходимо, чтобы для любых двух чисел ε > 0 и c > 0 существовал такой номер no, что для всех номеров n > n0 выполняется неравенство |xn – a| < cε и достаточно, чтобы нашлось такое число c > 0, что для любого ε > 0 существовал такой номер no, что для всех номеров n > n0 выполнялось то же неравенство |xn – a| < cε.
        (Объяснение из Кудрявцева, которое мне не нравится: «Оба этих утверждения следуют из того, что при фиксированном c > 0 и при произвольном ε > 0 число cε также является произвольным положительным числом». ИМХО лучше рассмотреть три варианта для c (c >1; c = 1; 0 < c < 1) и доказать теоремы в обе стороны, что, собственно, я и сделал).