Последовательности (черновик первонач)

Основные понятия

Элементы последовательности

Множество значений последовательности

Определение последовательности

Пусть X – какое-либо множество и N – множество натуральных чисел. Всякое отображение f: N → X называется последовательностью элементов множества X. Элемент f(n) обозначается через xn и называется n-ым членом последовательности f: N → X, а сама эта последовательность обозначается через {xn} или xn, n = 1,2,3,… .

Каждый элемент (член) xn последовательности {xn} представляет собой упорядоченную пару, состоящую из числа n ∈ N и соответствующего ему при отображении f: N → X элемента x из множества X, т.е. xn = (n, x). Второй элемент этой пары называется значением элемента xn последовательности {xn}, а первый – его номером.
Множество элементов последовательности всегда бесконечно. Два различных элемента последовательности могут иметь одно и то же значение, но они заведомо отличаются номерами, которых бесконечное множество.

Множество значений элементов последовательности (обычно говорят короче: множество значений последовательности) может быть конечным. Например. Если всем n ∈ N поставлен в соответствие один и тот же элемент a ∈ X (т.е. ∀ n ∈ N имеет место равенство f(n) = a), то множество значений последовательности xn = a, n = 1,2,3… состоит из одного элемента a ∈ X. Такие последовательности называют стационарными.

Порядок членов

Члены последовательности всегда упорядочены.
Иногда в качестве номеров бывает удобно употреблять не все натуральные числа, а лишь некоторые из них. Например, натуральные числа, начиная с некоторого натурального числа n0 или только четные числа, или n = 0, 1, 2, 3… (здесь в качестве еще одного номера добавлен нуль). Во всех этих случаях можно перенумеровать заново последовательность, используя все натуральные числа и только их.

Понятие предела

Одним из важнейших понятий математического анализа является понятие предела. Мы начнем его изучение с предела последовательности действительных чисел (f: N →R).

Предел числовой последовательности

Сходящаяся последовательность

Сходится справа/слева

Определение

Словами

С помощью ε и кванторов

Точка a (конечная или бесконечно удаленная) числовой прямой называется пределом некоторой числовой последовательности действительных чисел, если, какова бы ни была окрестность точки a, она содержит все члены рассматриваемой последовательности начиная с некоторого номера. Этот номер зависит, вообще говоря, от выбора окрестности точки a. Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании.

a = lim xn (n → ∞) ⟺ (def) (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: xn ∈ U(a; ε)

Если предел последовательности действительных чисел является конечной точкой числовой прямой, т.е. числом, то говорят, что последовательность имеет конечный предел.
Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся.
a = lim xn (n → ∞), a ∈ R ⟺ (def) (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: |xn – a| < ε
Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.

Если lim xn = a (n → ∞) и (∀ n ∈ N) xn < a (xn > a), то говорят, что последовательность {xn} сходится к числу a слева (справа) и иногда вместо lim xn = a (n → ∞) в этом случае пишут lim xn = a - 0 (n → ∞) (lim xn = a + 0 (n → ∞)).
В том случае, когда a = 0, вместо 0 + 0 и 0 – 0 пишут соответственно +0 и -0.

Если предел - бесконечность (3 вар-та: +∞; -∞ или ∞)

lim xn (n → ∞) = ∞ ⟺ (def) (∀ E > 0) ∃ n(E) ∈ N ∀ n > n(E): |xn| > E
lim xn (n → ∞) = +∞ ⟺ (def) (∀ E > 0) ∃ n(E) ∈ N ∀ n > n(E): xn > E
lim xn (n → ∞) = -∞ ⟺ (def) (∀ E > 0) ∃ n(E) ∈ N ∀ n > n(E): xn < -E
Очевидно, что если последовательность имеет пределом бесконечность с определенным знаком, то она имеет пределом и саму бесконечность без знака:
lim xn (n → ∞) = +∞ ⇒ lim xn (n → ∞) = ∞
lim xn (n → ∞) = -∞ ⇒ lim xn (n → ∞) = ∞
Последовательность, пределом которой является бесконечность (со знаком или без знака), называется бесконечно большой.
В дальнейшем всегда под пределом последовательности будем понимать конечный предел (т.е. число), если, конечно, не оговорено противное.

Когда точка не является пределом?

Конечная или бесконечно удаленная точка a числовой прямой R не является пределом последовательности действительных чисел {xn}, если существует такое ε0 > 0, что для всякого натурального n существует такое натуральное n0 > n, что xn0 ∉ U(a; ε).
a ≠ lim xn (n → ∞) ⟺ (∃ ε0 > 0) ∀ n ∈ N ∃ n0 > n: xn0 ∉ U(a; ε)
Данный факт является следствием из определения предела последовательности (т.е. не является самостоятельным определением).
Число a не является пределом последовательности: a ≠ lim xn (n → ∞) (a ∈ R) ⟺ (∃ ε0 > 0) ∀ n ∈ N ∃ n0 > n: |xn0 – a| ≥ ε0
Последовательность называется расходящейся, если никакое число не является ее пределом:
∀ a ∈ R ∃ ε0 > 0 ∀ n ∈ N ∃ n0 > n: |xn0 – a| ≥ ε0

Про отбрасывание и замену

click to edit

Про окрестность

Для любой окрестности U(a; ε), где a – действительное число, существует n ∈ N такое, что выполняется включение U(a; 1/n) ⊂ U(a; ε). Чтобы в этом убедиться, достаточно взять любое n > 1/ ε.

Про неограниченные и бесконечно большие

Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Но не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 4, ... 1, n, ... не является бесконечно большой.

Единственность предела числовой последовательности

Числовая последовательность может иметь только один предел, конечный или определенного знака бесконечный (подразумевается, видимо, что последовательность также может иметь пределом бесконечность без знака, но иметь одновременно 2 предела +∞ и -∞ она не может).
Доказательство:
Рассмотрим 4 случая:

Два конечных предела a и b
Конечный предел и +∞
-∞ и конечный предел
-∞ и +∞

Доказательство тривиальное: выбираются 2 непересекающиеся окрестности и номера n1 и n2, начиная с которых все члены последовательности принадлежат соответственно первой и второй окрестностям. Положим n0 = max{n1; n2}. Тогда для всех n > n0 члены последовательности принадлежат множеству, которое является пересечением первой и второй окрестностей. Но это пересечение равно пустому множеству, пришли к противоречию, следовательно, предел один.

Переход к пределу в неравенствах

2 милиционера

Обгоняет бесконечную

Предел константы

(∀ n ∈ N) xn = a, a ∈ R ⇒ lim xn (n → ∞) = a
Коротко говоря, предел постоянной равен самой этой постоянной.
Доказательство:
(∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N (напр, nε = 1) ∀ n > nε: |xn – a| = 0 < ε

(∀ n ∈ N) xn ∈ R; yn ∈ R; zn ∈ R (т.е. имеем 3 последовательности действительных чисел)
(∀ n ∈ N) xn ≤ yn ≤ zn (члены которых удовлетворяют данному неравенству)
lim xn = lim zn = a, a ∈ R (n → ∞) (пределы первой и третьей – одно и то же действительное число)
⇓
lim yn = a (n → ∞)
Доказательство:
(∀ ε > 0) ∃ n1 ∈ N, n2 ∈ N : ∀ n > n1: xn ∈ U(a; ε) и ∀ n > n2: zn ∈ U(a; ε)
Положим n0 = max{n1; n2}
Тогда,
(∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: yn ∈ U(a; ε) (в силу неравенств)
чтд

(∀ n ∈ N) xn ∈ R; yn ∈ R
(∀ n ∈ N) xn ≤ yn
lim xn = +∞ (n → ∞)
⇓
lim yn = +∞ (n → ∞)
Доказательство:
(∀ E > 0) ∃ n(E) ∈ N ∀ n > n(E): E < xn ≤ yn
чтд
Случай
lim yn = -∞ (n → ∞)
⇓
lim xn = -∞ (n → ∞)
доказывается аналогично.

Два разных конечных предела

(∀ n ∈ N) xn ∈ R; yn ∈ R
lim xn = a (n → ∞), a ∈ R
lim yn = b( n → ∞), b ∈ R
a < b
⇓
∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: xn < yn
Доказательство:
Выберем две непересекающиеся окрестности U(a; ε1) и V(b; ε2). Из условия a < b следует, что ∀ x ∈ U, ∀ y ∈ V: x < y. ∃ n1 ∈ N ∀ n > n1: xn ∈ U(a; ε1). ∃ n2 ∈ N ∀ n > n2: yn ∈ V(b; ε2). Положим n0 = max {n1; n2}. Тогда ∀ n > n0: xn ∈ U(a; ε1) ∧ yn ∈ V(b; ε2) ⇒ ∀ n > n0: xn < yn.

Конечный предел и число

(∀ n ∈ N) xn ∈ R; a, b ∈ R; lim xn = a (n → ∞); a < b (соответственно, a > b)
⇓
∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: xn < b (соответственно, xn > b)
Доказательство:
Первый способ: выберем окрестность точки a, которая не содержит в себе b. Для этой окрестности существует число n0, начиная с которого все члены последовательности будут в этой окрестности, а значит все они будут меньше (больше) b. Второй способ – рассмотреть вспомогательную стационарную последовательность yn = b.

Не обгоняет

(∀ n ∈ N) xn ∈ R, yn ∈ R; lim xn = a (n → ∞); lim yn = b( n → ∞); a, b ∈ R; (∀ n ∈ N) xn ≤ yn
⇓
a ≤ b
Доказательство:
МОП: a > b ⇒ ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: xn > yn ⊥
Примечание: даже если (∀ n ∈ N) xn < yn (строго меньше), из этого следует лишь то, что a ≤ b. Например, пусть xn = 1/2n; yn = 1/n. Тогда (∀ n ∈ N) xn < yn, но при этом lim xn = lim yn = 0.
Следствие:
(∀ n ∈ N) xn ∈ R; lim xn = a (n → ∞); a, b ∈ R; (∀ n ∈ N) xn ≤ b
⇓
a ≤ b
Доказательство:
Первый способ: МОП a > b ⇒ ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: xn > b ⊥
Второй способ: рассмотреть вспомогательную стационарную последовательность yn = b.

Про cε

2ε и ε/2

cε

2ε

ε/2

lim xn = a (n → ∞), a ∈ R; ⇒ (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < 2ε
Доказательство:
(∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: |xn – a| < ε < 2ε
(∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < 2ε ⇒ lim xn = a (n → ∞)
Доказательство:
(∀ ε > 0) ∃ δ = ε/2
(∀ δ > 0) ∃ nδ ∈ N ∀ n > nδ: |xn – a| < 2δ = ε
⇓
(∀ ε > 0) ∃ nδ ∈ N ∀ n > nδ: |xn – a| < ε
Вывод:
lim xn = a (n → ∞), a ∈ R; ⟺ (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < 2ε

lim xn = a (n → ∞), a ∈ R; ⇒ (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < ε/2
Доказательство:
(∀ ε > 0) ∃ δ = ε/2
(∀ δ > 0) ∃ nδ ∈ N ∀ n > nδ: |xn – a| < δ = ε/2
⇓
(∀ ε > 0) ∃ nδ ∈ N ∀ n > nδ: |xn – a| < ε/2
(∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < ε/2 ⇒ lim xn = a (n → ∞), a ∈ R;
(∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: |xn – a| < ε/2 < ε
Вывод:
lim xn = a (n → ∞), a ∈ R; ⟺ (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < ε/2

c = 1

0 < c < 1

c > 1

lim xn = a (n → ∞), a ∈ R; ⇒ (∀ ε > 0) (∀ c > 1) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < cε
∃ c > 1 (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < cε ⇒ lim xn = a (n → ∞)

lim xn = a (n → ∞), a ∈ R; ⇒ (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < cε = ε
(∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < cε = ε ⇒ lim xn = a (n → ∞)

lim xn = a (n → ∞), a ∈ R; ⇒ (∀ ε > 0) (∀c: 0 < c < 1) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < cε
∃ c: 0 < c < 1 (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < cε ⇒ lim xn = a (n → ∞)

Вывод

lim xn = a (n → ∞), a ∈ R; ⇒ (∀ ε > 0) (∀ c > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < cε
∃ c > 0 (∀ ε > 0) ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0: |xn – a| < cε ⇒ lim xn = a (n → ∞)

Доказательства для c я не привел, т.к. они выполняются по аналогии с 2ε и ε/2. Вообще, если есть конкретное число c, то проще провести эти выводы «с нуля» в рамках решаемой задачи (т.к. они элементарные) и использовать доказанные факты в тех случаях, когда необходимы общие рассуждения.
Таким образом, для того, чтобы числовая последовательность {xn} имела предел, имела своим пределом число a ∈ R, необходимо, чтобы для любых двух чисел ε > 0 и c > 0 существовал такой номер no, что для всех номеров n > n0 выполняется неравенство |xn – a| < cε и достаточно, чтобы нашлось такое число c > 0, что для любого ε > 0 существовал такой номер no, что для всех номеров n > n0 выполнялось то же неравенство |xn – a| < cε.
(Объяснение из Кудрявцева, которое мне не нравится: «Оба этих утверждения следуют из того, что при фиксированном c > 0 и при произвольном ε > 0 число cε также является произвольным положительным числом». ИМХО лучше рассмотреть три варианта для c (c >1; c = 1; 0 < c < 1) и доказать теоремы в обе стороны, что, собственно, я и сделал).

Подпоследовательности

click to edit

Мотивировка

Ограниченность сходящихся последовательностей

Критерий Коши сходимости последовательности

Бесконечно малые последовательности

Определение и примеры БМП

Конечная линейная комбинация

Что такое сумма/разность/произведение/частное последовательностей

Над последовательностями можно проводить арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления. Определим их.
Пусть заданы числовые последовательности {xn} и {yn}: суммой, разностью и произведением этих последовательностей называются соответственно последовательности {xn + yn}, {xn – yn} и {xnyn}. Если yn ≠ 0 ∀ n ∈ N, то частным от деления последовательности xn на yn называется последовательность {xn/yn}. Если последовательность {yn} такова, что в ней имеется лишь конечное число элементов, равных нулю, т.е. ∃ n0 ∈ N: (∀ n ≥ n0) yn ≠ 0, то можно рассматривать последовательность {xn/yn}, понимая под ней последовательность с номерами n ≥ n0. Наконец, произведением последовательность {xn} на число c ∈ R называется последовательность {cxn}.

Определение:
Последовательность {αn} называется бесконечно малой последовательностью, если lim αn = 0 (n → ∞).
Примеры БМП: 1/n, (1/n)sin[(pi/2)n] и т.д.

Любая линейная комбинация бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью: lim (μαn+ σbn) = 0 (n → ∞), где {αn} и {bn} – БМП, а μ и n ∈ R.
Доказательство:

Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью (доказывать только с помощью определения, т.к. критерий Коши на данном этапе еще не изучен). Очень простое и короткое доказательство: существует n1 и n2, положим n0 = max {n1, n2}, |αn + βn| ≤ |αn| + |βn| < 2ε.
Разность двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью. Доказательство аналогичное, только другое свойство модуля: |αn - βn| ≤ |αn| + |βn|.
Произведение бесконечной малой последовательности на действительное число является бесконечной малой последовательностью: lim αn = 0 (n → ∞) ⟹ lim сαn = 0 (n → ∞) ∀ c ∈ R.
Доказательство данного факта проводится в два этапа:
3.1. lim αn = 0 (n → ∞) ⟹ lim -αn = 0 (n → ∞) (очень простое доказательство, основанное на факте |αn| = |-αn| ∀ n ∈ N)
3.2. lim αn = 0 (n → ∞) ⟹ lim сαn = 0 (n → ∞) ∀ c ≥0.
Четыре варианта: c = 0, 0 < c < 1, c = 1, c > 1. В первом случае – предел константы, во втором случае выполняется неравенство |cαn| ≤ |αn| < ε, в третьем случае 2 тождественно равные последовательности (в принципе, это одна и та же последовательность, очевидно, предел равен нулю), в четвертом – (∀ ε > 0) ∃ nε: (∀ n > nε) |αn| < ε/c ⟹ (∀ ε > 0) ∃ nε: (∀ n > nε) |cαn| = c|αn| < ε ⟹ lim сαn = 0 (n → ∞).

Соответствующее утверждение верно для любой конечной линейной комбинации бесконечно малых последовательностей.

Ограниченность сходящейся

Определения

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество значений ее элементов ограничено сверху (снизу), т.е. если ∃ M ∈ R (∀ n ∈ N) xn ≤ M (∃ m ∈ R (∀ n ∈ N) xn ≥ m).
Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. {xn} ограничена, если ∃ m ∈ R, ∃ M ∈ R (∀ n ∈ N) m ≤ xn ≤ M. Очевидно, что последовательность {xn} ограничена тогда и только тогда, когда ∃ M ∈ R (∀ n ∈ N) |xn| ≤ M (можно рассматривать данный факт как критерий или как другое определение, равносильное первому, доказывается в обе стороны очень легко).
Определения для неограниченных (сверху, снизу) последовательностей формулируются отрицанием соответствующих определений.

Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Док-во: см. Кудявцев «Курс…» том 1. (там неплохое доказательство)

Монотонные последовательности

Невозрастающая и неубывающая последовательности

Теорема Вейерштрасса

Супремум/инфимум

Следствие

Произведение БМП на ограниченную

Следствие

click to edit

Вне окрестности

Точка a является пределом последовательности {xn} тогда и только тогда, когда вне любой ее ε-окрестности содержится лишь конечное (возможно, нулевое) число членов этой последовательности.

Докажем: ∀ последовательности выполняется: lim xn = a (n → ∞) ⟹ «вне любой ε-окрестности точки a лежит лишь конечное число элементов данной последовательности».
По определению предела (∀ ε > 0) ∃ nε ∈ N ∀ n > nε: |xn – a| < ε ⟹ «вне любой ε-окрестности точки a лежит лишь конечное число элементов данной последовательности с номерами m ≤ nε»
Докажем: ∀ последовательности выполняется: «вне любой ε-окрестности точки a лежит лишь конечное число элементов данной последовательности» ⟹ lim xn = a (n → ∞)
МОП:
Допустим, ∃ последовательность, для которой выполняется одновременно 2 условия: «вне любой ε-окрестности точки a лежит лишь конечное число элементов данной последовательности» ⋀ «точка a не является пределом этой последовательности». Но если a ≠ lim xn (n → ∞) ⟹ ∃ ε0 > 0 ∀ n ∈ N ∃ n0 > n: |xn0 – a| ≥ ε0, что означает, что существует окрестность, вне которой содержится бесконечное число членов последовательности, следовательно, наша конъюнкция не может иметь места, значит верна заявленная в п.2 теорема.