Sequências
PA
PG
Matriz
Determinante
Lei de Formação
Chama-se sequência toda aplicação f do conjunto dos Naturais não nulos em Reais
A matemática se interessa por sequências que obedecem a certa regra, que pode ser:
Fórmula que calcula um termo em função ao antecedente
Fórmula que calcula em função da posição
Que apresentam uma propriedade
Uma sequência que obedece a lei:
Um termo é igual ao anterior mais a razão 
Uma sequência obedece a lei:
Um termo é igual ao anterior vezes a razão
Soma
O número de termos vezes a constante(soma dos termos correspondentes da sequência invertida) dividida por dois
Produto
Soma
Corolário
Infinita
Elemento: aij
i : linha
j : coluna
Matriz : M mxn
m : linha
n : coluna
Tipos
Diagonal
Matriz quadrada em que todos os elementos que
não pertencem à diagonal principal é igual a zero
Identidade
Matriz diagonal em que todos os elementos
da diagonal principal são iguais a 1
Outros
Diagonal
Principal
O que contém os dois índices iguais
Secundária
Que tem a soma dos índices igual a n+1
Operações
Igualdade
Adição
A soma de duas matrizes do mesmo tipo é outra também do mesmo tipo, em que cada elemento é a soma dos elementos com índices correspondentes nas duas matrizes
Oposta
Do mesmo tipo em que cada elemento com índice correspondente tem sinais opostos
Subtração
Soma de uma com a oposta da outra
Multiplicação
Dado um número K vezes uma matriz A, o produto é outra matriz do mesmo tipo com todos os elementos com índices correspondentes ao de A multiplicados por K
Entre matrizes
Condições
O número de colunas de A tem que
ser igual ao número de linhas de B
Gera uma matriz que mantém o número de
linhas de um e o número de colunas de outro
Essa matriz tem elementos em que cada elemento de A que contém n igual ao m de B é multiplicado e vai para o campo
m = m de A e n = n de B, se tiver mais de um número em um campo soma-se eles
Toda multiplicação de uma matriz com uma identidade
de mesma ordem é igual a própria matriz
Propriedades
Não é comutativa, com excessão se uma das matrizes for nula, identidade ou inversa
É associativa: (AB)C = A(BC)
É distributiva
(kA)B = A(kB) = k(AB)
Não é só pq AB = 0 que A ou B é necessariamente 0, esta propriedade não é válida para matrizes
Transposta
Inverte-se as linhas e as colunas
Simétrica
Aquela que é igual a sua transposta, os elementos simetricamente dispostos em relação a sua
diagonal principal são iguais
Antissimétrica
Aquela em que os elementos simetricamente
dispostos em relação à diagonal principal são
opostos
Inversíveis
A é inversível se existir uma matriz B tal que
AB = BA = In
se A é inversível B é único
Se não for inversível é singular
Duas matrizes são iguais se forem do mesmo tipo e tiverem todos os elementos iguais em seus índices correspondentes
Sistemas Lineares
Determina se um sistema possui soluções
Se M(matriz quadrada de elementos reais) for se ordem:
1: então O determinante é o único elemento da matriz
2: O Det é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária
3: Regra de Sarrus ou a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13-a22-a31-a11a23a32-a12a21a33
n: Soma dos produtos dos elementos de qualquer fila(linha ou coluna) pelos respectivos cofatores
Menor Complementar
Complemento Algébrico
(cofator)
Escolhe-se um elemento de uma matriz quadrada.
Excluir a linha e a coluna daquele elemento e formar outra matriz
O determinante dessa nova Matriz é o Menor complementar
O menor complementar vezes (-1)(elevado a soma dos índices) é o complemento algébrico
Propriedades
O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta, ou seja, toda propriedade válida para as linhas de uma matriz também é válida para as suas colunas
Se os elementos de uma fila são todos 0 entãoo determinanteé 0
Se multiplicarmos uma fila por uma constante então o determinante obtido será a constante vezes o determinante da matriz original
Se trocarmos de lugar duas filas paralelas então o determinante vai trocar de sinal. Se uma matriz tem duas linhas paralelas iguais então o determinante é 0
Se uma matriz tem duas filas paralelas proporcionais então o determinante é 0
A soma dos produtos de uma fila ordenadamente pelos cofatores de uma fila paralela é igual a 0
Se os elementos de uma coluna são tais que cada elementos é a soma de dois outros, então o determinante dessa matriz é igual a soma dos determinantes das duas matrizes que contém esses elementos no lugar
Se uma matriz tem uma linha(ou coluna) que é combinação linear de outras linhas(ou coluna) então o determinante é 0.
Combinação linear de colunas é quando multiplicamos cada uma das colunas escolhidas por um multiplicador e depois somamos os elementos das linhas, a coluna que sobrar é a somada a outra diferente, o determinante não muda
Somar o múltiplo de uma linha a uma outra não altera o valor do determinante
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da matriz principal
Triangular
Matriz em que todos os elementos de um mesmo lado da diagonal principal são zeros
Det(AB)=Det A*Det B
Vandermonde
Matriz em que as colunas são formadas por potências
de mesma base variando desde 0 até n-1
Os elementos da segunda linha são chamados elementos característicos
O determinante de uma matriz de vondermonde é indicado por: V(todos, os, elementos, característicos) que é igual ao produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos com a condição que o minuendo tenha índice maior que o subtraendo
Inversa
Existe se o determinante da matriz for diferente de 0
Matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores
Cada linha da matriz é uma equação linear = b(termo independente)
A solução de um sistemar linear é uma sequência ordedanada de reais que satisfaçam o sistema
Homogêneo
Aquele em que em todas as equações o termo idenpendente vale zero
Sempre admite como solução uma sequência em que todos os termos são 0
m: Equações
n: incógnitas
A matriz só é completa quando se tem a coluna dos termos idependentes
Teorema de Cramer
Se um sistema linear tem o número de equações igual ao número de incógnitas(matriz quadrada) e o determinante é diferente de 0, então é provado que esse sistema possui solução única(sequência única).
Cada i-incógnita será igual a Di/D, em que Di é o determinante obtido substituindo a i-ésima coluna pela coluna dos termos independentes
Equivalentes
Dois sistemas são equivalentes se toda solução de uma for também solução de outra e vice-versa
Classificação
Possível
Impossível
(nenhuma solução)
Determinado
(uma única solução)
Indeterminado
(infinitas soluções)
Escalonada
Linha-equivalentes