Calcolo integrale

Integrali immediati

$\int \cos x \mathrm{d}x=\sin x +c$

$\int-\frac{1}{\sin^2 x} \mathrm{d}x=\cot x +c $

$ \int \frac{1}{\cos^2 x}\mathrm{d}x=\tan x +c $

$ \int \frac{1}{x} \mathrm{d}x=\ln|x| +c $

$\int \frac{1}{1+x^2} \mathrm{d}x= \arctan x +c $

$ \int a^x \mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+c $

$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x= \mathrm{arcsin} x +c $

$ \int x^a \mathrm{d}x = \frac{x^{a+1}}{a+1}+c $

$ \int \sin x \mathrm{d}x=-\cos x+c $

Integrazione razionale

Per parti

Per sostituzione

$x=g(t)$
$\int f(x) \mathrm{d}x= \int f(g(t)) \times g'(t) \mathrm{d}t$

$\int f(x)g'(x)\mathrm{d}x=f(x)g(x)-\int f'(x) g(x)\mathrm{d}x$

$\int \frac{f(x)}{g(x)} \mathrm{d}x=$

Al posto di $x$ ci può essere $f(x)$,
a patto che l'integrale contenga $f'(x)$ come fattore (sostituire $\mathrm{d}x$ con $\mathrm{d}f(x)$)

Scompongo $g(x)$ e scrivo: $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{Ax+B}{x^2+r_1}+\frac{C}{x+r_2}+\frac{D}{x+r_3}...$, dove i denominatori sono una scomposizione di $g(x)$

Al secondo membro metto tutto con denominatore comune $g(x)$, semplifico e mi rimane $f(x)=$ ad un polinomio del suo stesso grado: trovo quindi i valori di A, B, C, D,...

Li sostituisco nella scrittura con denominatori multipli e calcolo l'integrale di ogni quoziente

Se $f(x)$ divisibile per $g(x)$ si esegue la divisione e si calcolano gli integrali del quoziente e del resto

$\int -\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\mathrm{arccotan} x+c$

$ \int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x= \mathrm{arccos} x +c $

$\int\sqrt{x^2+1}\mathrm{d}x=$

$\int\sqrt{x^2-1}\mathrm{d}x=$

$\int\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x=$

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$\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2 -1}-\ln(\sqrt{x^2 -1}+x))+c$

$\frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x)+c$

I differenziali si si comportano così: $t=kf(x)$
$\mathrm{d}t=kf'(x)\mathrm{d}x$ ➡ $\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}t}{kf'(x)}$

Goniometria utile

Potrebbe essere necessario creare un quadrato perfetto per sfruttare l'integrale dell'arcotangente

$\int\tan{x} \mathrm{d}x=-\ln|\cos{x}|+c$

$\int \cot x \mathrm{d}x=\ln|\sin x|+c$

Integrali impropri

Criteri:
•Confronto;
•Confronto asintotico;
•Convergenza assoluta.

$\int^{+\infty}_1\frac{1}{x^\alpha}\mathrm{d}x$
Converge se $\alpha>1$, diverge se $\alpha≤1$

$\int^{b}_a\frac{1}{(b-x)^\alpha}\mathrm{d}x$ o $\int^{b}_a\frac{1}{(x-a)^\alpha}\mathrm{d}x$
Converge se $\alpha<1$, diverge se $\alpha≥1$