Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

3 Bifurcations (Saddle-Node Bifurcation (Normal forms (vad vi kallat…

- - - - Normal form: \( \dot{x}=rx-x^{3}\)
        
        Notera: är invariant under change of variables \(x\rightarrow-x\)
        "This invariance is the mathematical expression of the left-right symmetry mentioned earlier" ("equivariant vector field")
      - r < 0 stable FP, r = 0 still stable but much more weakly so, since the linearization vanishes -> solutions no longer decay exponentially fast -> (critical slowing down)
        r > 0 origin becomes unstable FP, two new stable FP appear, symmetrically on either side at \(x^{*}=\pm\sqrt{r}\)
    - - Normal form: \( \dot{x}=rx+x^{3}\)
      - blow-up: "one can show that \( x(t)\rightarrow\pm\infty\) in finite time, starting from any initial condition \(x_{0}\neq0\)"
        
        In real physical systems, such an explosive instability is usually opposed by the stabilizing influence of higher-order terms.
        Assuming that the system is still symmetric under x -> -x, the first stabilizing term must be x^5. Thus the canonical example of a system with a subcritical pitchfork bifurcation is
        \(\dot{x}=rx+x^{3}-x^{5}\)
        
        Mellan \(r_{s}\) och 0 existerar två kvalitativt olika stable states samtidigt, (origin och large-amplitude fixed points). Initial condition \(x_{0}\) avgör vilken fixed point vi går mot då \(t\rightarrow\infty\).
        -- origin är locally stable men inte globally stable.
        
        Existensen av olika stable states möjliggör
        
        jumps
        
        hysteresis
        
        När vi passerat 0 i figuren och hoppat till en av large-amplitude-brancherna räcker det inte med att vi backar för att komma tillbaks
        
        Bifurcationen i \(r_{s}\) är en saddle-node bifurcation
- - - - Om h=0 så har vi normalformen för en superkritisk pitchfork bifurcation, och en perfekt symmetri mellan x och -x. Men denna symmetri bryts för \(h\neq0\), därför kallas h imperfection parameter
      - Låt oss se r som fixerad och variera h
        
        Hitta FP. Vi använder en grafisk approach: plotta -h och rx - x^3 och se var de korsar varandra
        
        För r>0 är 1,2, eller 3 intersections (->FPs) möjliga
        
        Vi kan se att vi har en saddle-node bifurcation när h-linjen tangerar cubicen. Genom att sätta cubicens derivata till noll hittar vi värdena på h där denna bifurcation sker:
        För local maximum: \(x_{\textrm{max}}=\sqrt{\frac{r}{3}}\), och värdet på cubicen är där \(\frac{2r}{3}\sqrt{\frac{r}{3}}\). Negativa dessa för local minimum.
        Alltså sker saddle-node bifurcations när \(h=\pm h_{c}(r)\), där
        \(h_{c}(r)=\frac{2r}{3}\sqrt{\frac{r}{3}}\)
        
        Detta kan summeras i bifurcation curves \(h=\pm h_{c}(r)\) i (r,h)-planet
        
        ("För vilka värden på h sker bifurcationen givet ett värde på r?")
        Punkten där kurvorna möts tangentiellt kallas cusp point
        I cusp point har vi codimension-2 bifurcation, resten av kurvorna saddle-node bifurcations
        
        Låt oss också titta på vanliga bifurcation diagrams (för fixerat h)
        
        För \(h\neq0\) disconnectas pitchforken i två delar
        Vi kan inte nå den lägsta grenen om inte en relativt stor störning sker
        
        Vi kan också plotta för fixerat r (är ju som figuren # fast roterat 90 grader)
        
        När r>0 finns det tre FP för \(\left|h\right|
        
        Finns ett sista sätt att plotta på, med en 3-dimensionell graf
        
        Vi plottar alltså FP \(x^{*}\) över (r,h)-planet, vilket ger oss en cusp catastrophe surface.
        
        Cross-sections give the earlier graphs
        
        Termen catastrophe kommer från att när parametrarna ändras kan systemets tillstånd falla ner för kanten av den övre yten ner till den undre. "This jump could be truly catastrophic for the equilibrium of a bridge or a building"